If \( \cot^2 \theta - (\sqrt{3} + 1 ) \cot \theta + \sqrt{3}= 0 \), \( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \), then \( \theta = ? \)

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: যদি \( \cot^2 \theta - (\sqrt{3} + 1) \cot \theta + \sqrt{3} = 0 \), যেখানে \( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \), তবে \( \theta \) এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া সমীকরণ:

\[ \cot^2 \theta - (\sqrt{3} + 1) \cot \theta + \sqrt{3} = 0 \] এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ \( x = \cot \theta \) এর জন্য:

\[ x^2 - (\sqrt{3} + 1) x + \sqrt{3} = 0 \]

1. সমীকরণটির মূল গুণন:

\[ x = \frac{ (\sqrt{3} + 1) \pm \sqrt{ (\sqrt{3} + 1)^2 - 4 \times 1 \times \sqrt{3} } }{2} \]

1. অভ্যন্তরীণ অংশের মান নির্ণয়:

\[ (\sqrt{3} + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \times \sqrt{3} \times 1 + 1^2 = 3 + 2 \sqrt{3} + 1 = 4 + 2 \sqrt{3} \]

2. আসুন মূল সূত্রের ভিতরের অংশ নির্ণয় করি:

\[ \sqrt{ (4 + 2 \sqrt{3}) - 4 \sqrt{3} } = \sqrt{ 4 + 2 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} } = \sqrt{ 4 - 2 \sqrt{3} } \]

3. প্রয়োজনীয় রূপান্তর:

\[ \sqrt{ 4 - 2 \sqrt{3} } = \sqrt{ (\sqrt{3} - 1)^2 } = |\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1 \] (কারণ \( \sqrt{3} - 1 > 0 \) \( \Rightarrow \) এই মানটি ধনাত্মক)

4. মূল গুণন:

\[ x = \frac{ (\sqrt{3} + 1) \pm (\sqrt{3} - 1) }{2} \] অতএব, দুটি সমাধান পায়: \[ x_1 = \frac{ (\sqrt{3} + 1) + (\sqrt{3} - 1) }{2} = \frac{ 2 \sqrt{3} }{2} = \sqrt{3} \] \[ x_2 = \frac{ (\sqrt{3} + 1) - (\sqrt{3} - 1) }{2} = \frac{ 2 }{2} = 1 \]

1. এখন, \( \cot \theta = x \) থেকে,

\[ \cot \theta = \sqrt{3} \quad \text{অর্থাৎ} \quad \theta = \arccot (\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6} \] \[ \cot \theta = 1 \quad \text{অর্থাৎ} \quad \theta = \arccot (1) = \frac{\pi}{4} \] (কারণ, \( \cot \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \) এবং \( \cot \frac{\pi}{4} = 1 \))

1. অতএব, \( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \) এর মধ্যে, সমাধানগুলো হলো:

\[ \boxed{\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}} \]