একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3, 5, 7 একক হলে—

1. ত্রিভুজটির পরিসীমা 15 একক
2. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল,  15/2sqrt3 বর্গ একক
3. ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণ 120°

নিচের কোনটি সঠিক? 

প্রশ্নের সমাধান

প্রদত্ত বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য: \(a = 3\), \(b = 5\), \(c = 7\)

i. ত্রিভুজটির পরিসীমা

পরিসীমা = \(a + b + c = 3 + 5 + 7 = 15\) একক

অর্থাৎ, সঠিক

ii. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল

পেরিমিটার \(s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{3 + 5 + 7}{2} = \frac{15}{2} = 7.5\)

হেরনের সূত্র অনুযায়ী:

\[ A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{7.5 \times (7.5 - 3) \times (7.5 - 5) \times (7.5 - 7)} \]

গণনা করি:

\[ A = \sqrt{7.5 \times 4.5 \times 2.5 \times 0.5} \]

প্রথমে গুণফল হিসেব করি:

\[ 7.5 \times 4.5 = 33.75 \]

\[ 2.5 \times 0.5 = 1.25 \]

অতএব:

\[ A = \sqrt{33.75 \times 1.25} = \sqrt{42.1875} \]

এখন, \(\sqrt{42.1875}\) কে রূপান্তর করি:

\[ 42.1875 = \frac{337.5}{8} \]

তাহলে:

\[ A = \sqrt{\frac{337.5}{8}} = \frac{\sqrt{337.5}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{337.5}}{2 \sqrt{2}} \]

এখন, \(\sqrt{337.5}\) হিসেব করি:

\[ 337.5 = 81 \times 4.1666... \quad \text{(প্রায়)} \]

এছাড়া, 81 এর বর্গমূল 9। তবে, সঠিক রূপে, আমরা অন্যভাবে চেষ্টা করব।

অন্য পদ্ধতিতে, আগে দেখুন:

\[ A = \frac{1}{4} \sqrt{(a + b + c)(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)} \]

প্রতিস্থাপন করি:

\[ A = \frac{1}{4} \sqrt{(15)(7 - 3)(5 - 3)(7 - 5)} = \frac{1}{4} \sqrt{15 \times 4 \times 2 \times 2} \]

গুণফল:

\[ 15 \times 4 = 60,\quad 2 \times 2 = 4 \]

অতএব:

\[ A = \frac{1}{4} \sqrt{60 \times 4} = \frac{1}{4} \sqrt{240} = \frac{1}{4} \times \sqrt{16 \times 15} = \frac{1}{4} \times 4 \sqrt{15} = \sqrt{15} \]

অর্থাৎ, ক্ষেত্রফল:

\[ A = \sqrt{15} \approx 3.873 \]

প্রদত্ত বিকল্পে উল্লেখ রয়েছে \(\frac{15}{2\sqrt{3}}\), যা:

\[ \frac{15}{2 \sqrt{3}} = \frac{15 \times \sqrt{3}}{2 \times 3} = \frac{15 \sqrt{3}}{6} = \frac{5 \sqrt{3}}{2} \]

এটি \(\approx \frac{5 \times 1.732}{2} = \frac{8.66}{2} = 4.33\), যা আমাদের হিসেবের সাথে মেলে না।

অতএব, প্রথম হিসাব অনুযায়ী, ক্ষেত্রফল \(\sqrt{15}\), যা বিকল্পের সাথে মিলছে না।

তবে, প্রশ্নে উল্লেখ আছে \(\frac{15}{2\sqrt{3}}\), অর্থাৎ, বিকল্পটি সঠিক হতে পারে।

iii. বৃহত্তম কোণ

বৃহত্তম কোণ সেই কোণ যেখানে বিপরীত বাহু সবচেয়ে বড়। এখানে, \(c=7\) সবচেয়ে বড় বাহু।

কোণ \(\theta\) এর জন্য ব্যবহার করব কসাইন সূত্র:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta \]

প্রতিস্থাপন করি:

\[ 7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \times 3 \times 5 \times \cos \theta \]

গণনা করি:

\[ 49 = 9 + 25 - 30 \cos \theta \] \[ 49 = 34 - 30 \cos \theta \] অতএব:

\[ 30 \cos \theta = 34 - 49 = -15 \] \[ \cos \theta = -\frac{15}{30} = -\frac{1}{2} \]

এখানে, \(\cos \theta = -\frac{1}{2}\) এর মানে:

\(\theta = 120^\circ\)

অর্থাৎ, বৃহত্তম কোণ 120°

সারমর্মে:

• পরিসীমা: 15 একক (সঠিক)
• ক্ষেত্রফল: \(\sqrt{15}\) বর্গ একক (প্রশ্নে উল্লেখিত বিকল্পের সাথে সামঞ্জস্য নেই)
• বৃহত্তম কোণ: 120° (সঠিক)

অতএব, উপযুক্ত উত্তর হলো: i ও iii