cosA+sinA=√2cosA হলে cosA-sinA হবে

দেওয়া আছে, \(cosA + sinA = \sqrt{2}cosA\)

সুতরাং, \(sinA = \sqrt{2}cosA - cosA\)

\(\implies sinA = (\sqrt{2}-1)cosA \)......(1)

এখন, আমরা \((cosA - sinA)\) এর মান বের করব।

ধরি, \(cosA - sinA = x\)......(2)

সমীকরণ (1) ও (2) কে বর্গ করে যোগ করি,

\((cosA + sinA)^2 + (cosA - sinA)^2 = (\sqrt{2}cosA)^2 + x^2\)

\(\implies cos^2A + sin^2A + 2cosAsinA + cos^2A + sin^2A - 2cosAsinA = 2cos^2A + x^2\)

\(\implies 2(cos^2A + sin^2A) = 2cos^2A + x^2\)

\(\implies 2 = 2cos^2A + x^2\)

\(\implies x^2 = 2 - 2cos^2A\)

\(\implies x^2 = 2(1 - cos^2A)\)

\(\implies x^2 = 2sin^2A\)

\(\implies x = \pm \sqrt{2sin^2A}\)

\(\implies x = \pm \sqrt{2}sinA\)

এখন, \(cosA + sinA = \sqrt{2}cosA\) থেকে আমরা পাই, \(cosA > 0\) এবং \(sinA > 0\), সুতরাং A প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত।

আবার, যদি \(cosA - sinA = -\sqrt{2}sinA\) হয়, তবে

\(cosA = sinA - \sqrt{2}sinA = (1 - \sqrt{2})sinA\)

যেহেতু \(1 - \sqrt{2} < 0\) এবং \(sinA > 0\), তাই \(cosA < 0\) হবে, যা সম্ভব নয়।

সুতরাং, \(cosA - sinA = \sqrt{2}sinA\) 🥳