পর্যায়কাল দ্বিগুণ করলে সরল দোলকের দৈর্ঘ্য কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

পর্যায়কাল দ্বিগুণ করলে সরল দোলকের দৈর্ঘ্য কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

1. 1/4 (Incorrect)
2. 1/2 (Incorrect)
3. 2 (Incorrect)
4. 4 (Correct)

ব্যাখ্যা:

সরল দোলকের পর্যায়কাল (T) এবং দৈর্ঘ্যের (L) মধ্যে সম্পর্ক নিম্নলিখিত সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়:

T = 2π √(L / g)

যেখানে:

• T = পর্যায়কাল
• L = দোলকের দৈর্ঘ্য
• g = অভিকর্ষজ ত্বরণ (ধ্রুবক)
• π = ধ্রুবক

সমীকরণ থেকে দেখা যায় যে, পর্যায়কাল দৈর্ঘ্যের বর্গমূলের সাথে সমানুপাতিক। অর্থাৎ, T ∝ √L।

যদি পর্যায়কাল দ্বিগুণ করা হয়, তবে নতুন পর্যায়কাল হবে T₂ = 2T₁। এবং নতুন দৈর্ঘ্য হবে L₂।

আমরা লিখতে পারি:

T₁ ∝ √L₁

T₂ ∝ √L₂

অতএব,

T₂ / T₁ = √(L₂ / L₁)

যেহেতু T₂ = 2T₁, আমরা পাই:

2T₁ / T₁ = √(L₂ / L₁)

2 = √(L₂ / L₁)

উভয় দিকে বর্গ করে পাই:

2² = (√(L₂ / L₁))²

4 = L₂ / L₁

সুতরাং,

L₂ = 4L₁

এর মানে হলো, পর্যায়কাল দ্বিগুণ করলে সরল দোলকের দৈর্ঘ্য 4 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

বিকল্প পদ্ধতির বিশ্লেষণ

আমরা সরাসরি অনুপাত ব্যবহার করেও এ??ি প্রমাণ করতে পারি।

ধরি, প্রাথমিক পর্যায়কাল T₁ এবং দৈর্ঘ্য L₁।

নতুন পর্যায়কাল T₂ = 2T₁ এবং নতুন দৈর্ঘ্য L₂।

T₁ = 2π √(L₁ / g)

T₂ = 2π √(L₂ / g)

T₂ / T₁ = (2π √(L₂ / g)) / (2π √(L₁ / g))

T₂ / T₁ = √(L₂ / L₁)

2T₁ / T₁ = √(L₂ / L₁)

2 = √(L₂ / L₁)

বর্গ করে,

4 = L₂ / L₁

L₂ = 4L₁

সুতরাং, পর্যায়কাল দ্বিগুণ করলে সরল দোলকের দৈর্ঘ্য 4 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

সিদ্ধান্ত

পর্যায়কাল দ্বিগুণ করলে সরল দোলকের দৈর্ঘ্য 4 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

সঠিক উত্তর: D. 4

\(T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\)

\(2T = 2\pi \sqrt{\frac{L'}{g}}\)

\(2 \times 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{L'}{g}}\)

\(2 \sqrt{\frac{L}{g}} = \sqrt{\frac{L'}{g}}\)

\(4 \frac{L}{g} = \frac{L'}{g}\)

\(L' = 4L\)