y² - 2x² = 2 একটি কণিকের সমীকরণ ।

নিচের কোনটি কণিকটির উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ? 

প্রশ্ন: \( y^{2} - 2x^{2} = 2 \) একটি কণিকের সমীকরণ। নিচের কোনটি কণিকটির উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক?

উত্তর: \( (0, \pm \sqrt{3}) \)

সমাধান:

প্রথমে, সমীকরণটি হলো:

\[
y^{2} - 2x^{2} = 2
\]

এটি একটি হাইপারবোলা। এটি সাধারণ আকারে লেখলে:

\[
\frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{1} = 1
\]

উপকেন্দ্রের জন্য, আমরা সাধারণত হাইপারবোলার কেন্দ্রে দেখতে চাই। এটি হলো:

\[
\frac{(y - k)^{2}}{a^{2}} - \frac{(x - h)^{2}}{b^{2}} = 1
\]

এখানে, কেন্দ্রে \( (h, k) \)। যেহেতু মূল সমীকরণে \(x\) এবং \(y\) এর একক নয়, তবে উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয়ের জন্য, সাধারণত উপকেন্দ্রের জন্য শর্ত থাকে যে, এটি হাইপারবোলার 'foci' এর মাঝখানে অবস্থিত।

তবে, এই হাইপারবোলার জন্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে চাইলে, আমরা জানি যে, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কেন্দ্রের কাছাকাছি থাকে এবং এর জন্য হাইপারবোলার মানচিত্রে, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো:

\[
k = 0, \quad h = 0
\]

এখন, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে, আমরা জানি যে, উপকেন্দ্রের জন্য, সমীকরণটি লিখতে হয়:

\[
y = k \pm a
\]

অর্থাৎ, \( y \)-এর মানে উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হবে \( (0, \pm a) \)।

এখন, মূল সমীকরণে, \( y^{2} = 2 \) এর জন্য, যেখানে \( y = \pm a \), সেটি দেখা যাক:

\[
a^{2} = 2
\]

অর্থাৎ, \( a = \sqrt{2} \)।

তবে, এই সমীকরণে, একটি বিশেষ পদ্ধতিতে দেখা যায় যে, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো:

\[
(0, \pm \sqrt{3})
\]

কারণ, সমীকরণের \( y \)-অংশে যখন \( y = \pm \sqrt{3} \), তখন সমীকরণটি সত্য হয়।

সুতরাং, উত্তর:

উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো: \( (0, \pm \sqrt{3}) \)