Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( y = mx + c \) রেখাটি \( y^2 = 4ax \) এর স্পর্শক, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরা যাক, রেখাটির স্পর্শক বিন্দু হলো \\( (x_0, y_0) \) এবং রেখার সমীকরণ হলো:
\[
y = mx + c
\]
রেখাটি \( y^2 = 4ax \) সমীকরণের সাথে স্পর্শক হলে, তাদের সমীকরণ সমাধান করে স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করবো।
প্রথমত, রেখার সমীকরণ থেকে \( c \) কে প্রকাশ করি:
\[
c = y - mx
\]
স্পর্শক হলে, রেখার ধনাত্মক বা ঋণাত্মক \( c \) এর জন্য, ঐ বিন্দুটি \( y^2 = 4ax \) রেখার উপর অবস্থিত এবং একই সময়ে, রেখার সাথে স্পর্শক হয়।
সুতরাং, \( (x_0, y_0) \) বিন্দুতে রেখা ও রেখা সমান্তরাল হবে, অর্থাৎ,
\[
y_0 = m x_0 + c
\]
এবং, \( (x_0, y_0) \) বিন্দুটি \( y^2 = 4ax \) রেখার স্পর্শবিন্দু, অর্থাৎ, এই বিন্দু রেখার উপর এবং রেখার স্লোপ একই।
অতএব, \( y_0 \) ও \( x_0 \) এর জন্য:
\[
y_0^2 = 4a x_0
\]
ধরা যাক, রেখার সমীকরণ থেকে \( c \) নির্ণয় করি। রেখাটির \( y \)-অক্ষ ছেদ হলো \( c \) অর্থাৎ, যখন \( x = 0 \), তখন \( y = c \)।
রেখার স্পর্শক বিন্দু হিসেবে ধরি \( (x_0, y_0) \), যেখানে,
\[
y_0 = m x_0 + c
\]
এবং,
\[
y_0^2 = 4a x_0
\]
রেখার সমীকরণে, স্পর্শক বিন্দু এর জন্য:
\[
\text{(1) } y_0 = m x_0 + c
\]
\[
\text{(2) } y_0^2 = 4a x_0
\]
এখন, রেখার সমীকরণ \( y = m x + c \) এর জন্য, \( c \) নির্ণয় করতে পারি:
\[
c = y_0 - m x_0
\]
আমরা জানি, স্পর্শক বিন্দু \( (x_0, y_0) \) এই রেখার উপর অবস্থিত। \( y_0 \) ও \( x_0 \) এর জন্য, \( y_0^2 = 4a x_0 \), অংকন করে দেখি।
তাহলে,
\[
x_0 = \frac{y_0^2}{4a}
\]
এখন, রেখার ধরণ ও স্পর্শক বিন্দুর জন্য, রেখার স্লোপ \( m \) এর মান নির্ণয় করি। যেহেতু রেখাটি \( y = m x + c \), এবং এই রেখা \( y^2 = 4ax \) এর স্পর্শক, তাহলে রেখার ধনাত্মক বা ঋণাত্মক \( m \) এর জন্য, এই রেখা ও \( y^2=4ax \) এর স্পর্শক বিন্দুগুলির জন্য সমান্তরাল হতে হবে।
প্রথমত, \( y^2=4ax \) এর টাংজেন্ট (স্পর্শক) এর ধারা:
\[
\text{From } y^2 = 4a x
\]
প্রথম ডেরিভেটিভ:
\[
2 y \frac{dy}{dx} = 4a \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}
\]
অর্থাৎ, স্পর্শক ধারা এর ঢাল:
\[
m_{tangent} = \frac{2a}{y_0}
\]
অতএব, যেহেতু রেখাটি স্পর্শক, তার ঢাল সমান হবে:
\[
m = \frac{2a}{y_0}
\]
এখন, \( y_0 = m x_0 + c \), এবং \( c = y_0 - m x_0 \).
তাই,
\[
c = y_0 - m x_0
\]
প্রতিস্থাপন করি \( x_0 = \frac{y_0^2}{4a} \) এবং \( m = \frac{2a}{y_0} \):
\[
c = y_0 - \left( \frac{2a}{y_0} \right) \times \frac{y_0^2}{4a} = y_0 - \frac{2a y_0^2}{4a y_0} = y_0 - \frac{2a y_0^2}{4a y_0}
\]
সরলীকরণ:
\[
c = y_0 - \frac{2a y_0^2}{4a y_0} = y_0 - \frac{2a y_0^2}{4a y_0} = y_0 - \frac{y_0}{2} = \frac{y_0}{2}
\]
অতএব,
\[
c = \frac{y_0}{2}
\]
এখন, রেখার সমীকরণে, \( c = y - m x \), তাহলে,
\[
c = y_0 - m x_0
\]
বিশ্লেষণ করে,
\[
c = y_0 - \left( \frac{2a}{y_0} \right) \times \frac{y_0^2}{4a} = y_0 - \frac{2a y_0^2}{4a y_0} = y_0 - \frac{y_0}{2} = \frac{y_0}{2}
\]
অর্থাৎ, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক:
\[
x = x_0 = \frac{y_0^2}{4a}
\]
\[
y = y_0
\]
আমাদের লক্ষ্য, \( (x_0, y_0) \) এর জন্য \( m \) ও \( c \) এর মান নির্ণয় করা।
প্রথম, \( m = \frac{2a}{y_0} \), তাই:
\[
m = \frac{2a}{y_0}
\]
\[
c = y_0 - m x_0 = y_0 - \frac{2a}{y_0} \times \frac{y_0^2}{4a} = y_0 - \frac{2a y_0^2}{4a y_0} = y_0 - \frac{y_0}{2} = \frac{y_0}{2}
\]
এখন, \( c = y_0 - m x_0 \) এ থেকে, আমরা \( c \) এর মান পেয়েছি \( \frac{y_0}{2} \)।
পরিশেষে, \( y_0 \) ও \( x_0 \) এর সম্পর্ক দিয়ে \( y_0 \) এর মান নির্ণয় করি।
উল্লেখ্য, \( y_0^2 = 4a x_0 \), অর্থাৎ,
\[
x_0 = \frac{y_0^2}{4a}
\]
এবং, রেখার ধরণ থেকে,
\[
m = \frac{2a}{y_0}
\]
প্রতিস্থাপন করে, \( y_0 \) এর মান নির্ণয় করি।
এখানে, \( c = \frac{y_0}{2} \), এবং রেখার সমীকরণ \( y = m x + c \) এর জন্য,
\[
y_0 = m x_0 + c
\]
অর্থাৎ,
\[
y_0 = \frac{2a}{y_0} \times \frac{y_0^2}{4a} + \frac{y_0}{2}
\]
সরলীকরণ:
\[
y_0 = \frac{2a y_0^2}{4a y_0} + \frac{y_0}{2} = \frac{y_0}{2} + \frac{y_0}{2} = y_0
\]
এটি সত্য, অর্থাৎ, আমাদের বর্গের মান নির্ণয় করতে হবে।
সুতরাং, \( y_0 \) এর মান:
\[
y_0 = 2m
\]
এবং,
\[
x_0 = \frac{(2m)^2}{4a} = \frac{4m^2}{4a} = \frac{m^2}{a}
\]
তাই, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক হলো:
\[
(x, y) = \left( \frac{m^2}{a}, 2m \right)
\]
এখন, \( y_0 = 2m \), তাই,
\[
x = \frac{m^2}{a}
\]
উপসংহার:
**স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক:**
\[
\boxed{
\left( \frac{a}{m^2}, 2m \right)
}
\]
