Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রথমে, দেওয়া রেখা ও পরাবৃত্তের সমীকরণ হলো:
\[
y = \alpha x - 1
\]
\[
y = x^2 + 3
\]
যেহেতু রেখা ও পরাবৃত্তের স্পর্শক হয়, তাই তাদের সমাধান একমাত্র হবে। অর্থাৎ, একক সমাধান হবে যখন:
\[
\alpha x - 1 = x^2 + 3
\]
অথবা,
\[
x^2 - \alpha x + 4 = 0
\]
এখন, এই বিঞ্জগণিত সমীকরণের জন্য, স্পর্শক হওয়ার জন্য, এর ডিসক্রিমিন্যান্ট \(D\) শূন্য হতে হবে:
\[
D = b^2 - 4ac
\]
এখানে,
\[
a = 1, \quad b = -\alpha, \quad c = 4
\]
অতএব,
\[
D = (-\alpha)^2 - 4 \times 1 \times 4 = \alpha^2 - 16
\]
স্পর্শক হওয়ার জন্য,
\[
D = 0
\]
অর্থাৎ,
\[
\alpha^2 - 16 = 0
\]
\[
\Rightarrow \alpha^2 = 16
\]
\[
\Rightarrow \alpha = \pm 4
\]
অতএব, \(\alpha\) এর মান হলো \(\boxed{\pm 4}\)।
