Another Explanation (5): সমাধান:
প্রশ্নটি হলো: \(\frac{d^n}{dx^n} \sin 2x\)
প্রথমে, আমরা জানি যে,
\[
\frac{d}{dx} \sin kx = k \cos kx
\]
এবং,
\[
\frac{d}{dx} \cos kx = -k \sin kx
\]
তাই, প্রথম ডেরিভেটিভ:
\[
\frac{d}{dx} \sin 2x = 2 \cos 2x
\]
দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ:
\[
\frac{d^2}{dx^2} \sin 2x = \frac{d}{dx} (2 \cos 2x) = 2 \times (-2) \sin 2x = -4 \sin 2x
\]
তৃতীয় ডেরিভেটিভ:
\[
\frac{d^3}{dx^3} \sin 2x = \frac{d}{dx} (-4 \sin 2x) = -4 \times 2 \cos 2x = -8 \cos 2x
\]
চতুর্থ ডেরিভেটিভ:
\[
\frac{d^4}{dx^4} \sin 2x = \frac{d}{dx} (-8 \cos 2x) = -8 \times (-2) \sin 2x = 16 \sin 2x
\]
এখানে লক্ষ্য করে দেখা যায় যে, ডেরিভেটিভের ধারা পুনরাবৃত্ত হচ্ছে। মূলত,
\[
\frac{d^n}{dx^n} \sin 2x
\]
একটি চক্রের মত, যেখানে প্রতিটি চারটি ধাপের মধ্যে ফলাফল পুনরাবৃত্ত হয়।
সুতরাং, সাধারণ সূত্র হলো:
\[
\frac{d^n}{dx^n} \sin 2x = 2^n \sin \left( 2x + n \frac{\pi}{2} \right)
\]
এখানে, কারণ প্রতিটি ডেরিভেটিভের পরে অংকগুলো \( \sin \) বা \( \cos \) এ রূপান্তর হয় এবং ধাপের সাথে সাথে অংক ও চিহ্ন পরিবর্তিত হয়।
**ফর্মুলা:**
উত্তর:
\[
\frac{d^n}{dx^n} \sin 2x = 2^n \sin \left( 2x + n \frac{\pi}{2} \right)
\]
