\( y^2 = 4x \) এবং \( x^2 = 4y \) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

Explanation: Hints: \(y = f(x)\) এবং \(x\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(\int_{x_1}^{x_2} y dx\) \(y = f(x)\) এবং \(y\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(\int_{y_1}^{y_2} x dy\) Solve: \(y^2 = 4x\) এবং \(x^2 = 4y\) বক্ররেখাযুক্ত ছেদবিন্দু \((0,0), (4,4)\) আবদ্ধ ক্ষেত্রফল: \[ \int_{0}^{4} (y_1 - y_2) dx = \int_{0}^{4} (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) dx \] \[ = \left[ \frac{2x^{3/2}}{3} - \frac{x^3}{12} \right]_0^{4} = 2 \cdot \frac{4^{3/2}}{3} - \frac{4^3}{12} - 0 = \frac{16}{3} \] Ans. (A) ব্যাখ্যা: ছবিতে দেখাল করা। ছবিতে দাঈশিখাংশের ক্ষেত্রফল বের করতে হবে। এক্ষেত্রে area নির্ধারনের ক্ষেত্রে \(y_1 - y_2\) করা হয়েছে। \(y^2 = 4x\) এবং \(x^2 = 4y\) পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে \(a = 1\)। তাহলে, ক্ষেত্রফল \(=\frac{16}{3} a^2 = \frac{16}{3}\)

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: \( y^2 = 4x \) এবং \( x^2 = 4y \) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

1. প্রদত্ত সমীকরণ দুটি হলো: \( y^2 = 4x \) ...(1) \( x^2 = 4y \) ...(2)
2. সমীকরণ (1) থেকে \( x = \frac{y^2}{4} \) এবং সমীকরণ (2) থেকে \( y = \frac{x^2}{4} \) পাওয়া যায়।
3. ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য, প্রথমে ছেদ বিন্দুগুলো বের করতে হবে। সমীকরণ (1) থেকে \( x \) এর মান সমীকরণ (2) এ বসিয়ে পাই: \( x^2 = 4 \cdot \sqrt{4x} \) \( x^2 = 4 \cdot \frac{x^2}{4} \) \( (\frac{y^2}{4})^2 = 4y \) \( \frac{y^4}{16} = 4y \) \( y^4 = 64y \) \( y^4 - 64y = 0 \) \( y(y^3 - 64) = 0 \) সুতরাং, \( y = 0 \) অথবা \( y^3 = 64 \), অর্থাৎ \( y = 4 \)
4. যখন \( y = 0 \), \( x = \frac{0^2}{4} = 0 \) যখন \( y = 4 \), \( x = \frac{4^2}{4} = 4 \) সুতরাং, ছেদ বিন্দুগুলো হলো \( (0, 0) \) এবং \( (4, 4) \) 🥳।
5. ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র: \( A = \int_{a}^{b} (y_2 - y_1) dx \) এখানে, \( y_2 = \sqrt{4x} = 2\sqrt{x} \) এবং \( y_1 = \frac{x^2}{4} \) সুতরাং, \( A = \int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) dx \)
6. এখন, ইন্টিগ্রেশন করি: \( A = \left[ 2 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} \) \( A = \left[ \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{4} \)
7. মান বসিয়ে পাই: \( A = \left( \frac{4}{3} (4)^{\frac{3}{2}} - \frac{(4)^3}{12} \right) - \left( \frac{4}{3} (0)^{\frac{3}{2}} - \frac{(0)^3}{12} \right) \) \( A = \frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{64}{12} \) \( A = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} \) \( A = \frac{16}{3} \) বর্গ একক 🥰।

অতএব, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \( \frac{16}{3} \) বর্গ একক।

উত্তর: \( \frac{16}{3} \) 🤩

```