lim_(x=>0)(1+x)^(1/x)=? 

প্রশ্ন: \(\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x}\)

উত্তর: e

সমাধান:

1. প্রথমে, আমরা লিমিটটি সহজভাবে বোঝার জন্য লোগারিদম ব্যবহার করব।
2. ধরা যাক, \[ L = \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} \]
3. এখন, উভয় পাশের লোগারিদম নিচ্ছি: \[ \ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \]
4. প্রতিবেদনের জন্য, আমরা এখন \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\) হিসেব করব।
5. যেহেতু, যখন \(x \to 0\), \(\ln(1 + x) \sim x\) (কারণ \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1\), এটা টেলর সিরিজের মাধ্যমে সহজে দেখা যায় বা ল'Hôpital's নিয়ম ব্যবহার করে দেখা যায়)।
6. অতএব, \[ \ln L = 1 \]
7. অতএব, \[ L = e^{\ln L} = e^1 = e \]

সুতরাং,

\(\boxed{\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e}\)