lim_(x->0)(x(sin2x+sin3x))/(sinx) এর মান—

প্রশ্নঃ

Find the value of:
\( \lim_{x \to 0} \frac{x (\sin 2x + \sin 3x)}{\sin x} \)

সমাধান:

1. প্রথমে, লিমিটের অভ্যন্তরে ফাংশনটি লিখি:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{x (\sin 2x + \sin 3x)}{\sin x} \]

2. এখানে, \(\sin 2x\) ও \(\sin 3x\) এর জন্য মৌলিক লিমিটের ব্যবহার করব। জানি যে, \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin kx}{kx} = 1\)
3. অর্থাৎ, \(\sin 2x \approx 2x\) এবং \(\sin 3x \approx 3x\) যখন \(x \to 0\)।
4. সুতরাং, লিমিটের ভিতরে সমীকরণটি রূপান্তর করি:

\[ \frac{x (\sin 2x + \sin 3x)}{\sin x} \approx \frac{x (2x + 3x)}{\sin x} = \frac{x (5x)}{\sin x} = \frac{5x^2}{\sin x} \]

5. এখন, \(\sin x \approx x\) যখন \(x \to 0\)। সুতরাং, এই সমীকরণে স্থানান্তর করি:

\[ \frac{5x^2}{\sin x} \approx \frac{5x^2}{x} = 5x \]

6. অতএব, লিমিটে যখন \(x \to 0\), তখন:

\[ \lim_{x \to 0} 5x = 0 \]

অতএব, উত্তর হলো:

0