\( y^2 = 4x + 8y \) পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক কোনটি?

Another Explanation (5):

প্রশ্নঃ

\( y^2 = 4x + 8y \) পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক কোনটি?

উত্তর ও সমাধান:

প্রথমে সমীকরণটিকে মানানসই রূপে রূপান্তর করি।

\( y^2 = 4x + 8y \)

প্রথমে, ডান পাশে থাকা সমীকরণকে সমন্বয় করি যাতে এটি পরাবৃত্তের মানানসই রূপে আসে। এর জন্য, সমীকরণে \( y \) এর জন্য সম্পূর্ণ স্কোয়ার তৈরি করি। প্রতিবর্তন করুন:

\( y^2 - 8y = 4x \)

এখন, বাম পাশে \( y \) এর জন্য সম্পূর্ণ স্কোয়ার যোগ করি। সম্পূর্ণ স্কোয়ার যোগ করতে:

\( y^2 - 8y + (8/2)^2 = 4x + (8/2)^2 \)

অর্থাৎ,

\( y^2 - 8y + 16 = 4x + 16 \)

এখন, বাম পাশটি সম্পূর্ণ স্কোয়ার হিসেবে লেখা যাবে:

\( (y - 4)^2 = 4x + 16 \)

এখন, সমীকরণ থেকে \( x \) এর জন্য সমাধান করি:

\( 4x = (y - 4)^2 - 16 \)

অতএব,

\( x = \frac{(y - 4)^2 - 16}{4} \)

পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু সেই পয়েন্ট যেখানে তার কনভেক্সিটি বা আউটপুটের সর্বোচ্চ ব?? সর্বনিম্ন মান থাকে। পরাবৃত্তের জন্য, শীর্ষবিন্দুটি সাধারণত তার শীর্ষ বা নিম্নমানের বিন্দু, যেখানে \( x \) বা \( y \) এর মান সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন হয়। এখানে, সমীকরণের মধ্যে, \( x \) এর জন্য আসা ফর্মুলা দেখে বোঝা যায় যে, এটি একটি পারাবৃত্তের জন্য একটি মানচিত্র। শীর্ষবিন্দুটি তখনই হয় যখন \( (y - 4)^2 \) এর মান সর্বনিম্ন হয়, কারণ এর সাথে সংশ্লিষ্ট \( x \) এর মান সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন হবে। \[ (y - 4)^2 \geq 0 \] সর্বনিম্ন মান হয় \( 0 \) যখন: \[ y - 4 = 0 \Rightarrow y = 4 \] সেক্ষেত্রে, \( x \) এর মান নির্ণয় করি: \[ x = \frac{0 - 16}{4} = \frac{-16}{4} = -4 \] অতএব, শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক হলো: \[ \boxed{(-4, 4)} \] **উত্তরঃ \(-4, 4\)**