\( y^2 + 8x - 2y - 23 = 0 \) পরাবৃত্ত (Parabola) এর উপকেন্দ্র (Focus) কোনটি?

প্রশ্ন:

প্রদত্ত সমীকরণ: \( y^2 + 8x - 2y - 23 = 0 \) পরাবৃত্ত (Parabola) এর উপকেন্দ্র (Focus) কোনটি?

সমাধান:

1. প্রথমে সমীকরণটিকে সাধারণ পরাবৃত্তের রূপে রূপান্তর করি।
2. সমীকরণ: \( y^2 + 8x - 2y - 23 = 0 \)
3. প্রথমে, y-সম্পর্কিত টার্মগুলো গ্রুপ করি:
• \( y^2 - 2y \)
4. অন্যদিকে, x-সম্পর্কিত টার্মগুলো: \( 8x \)
5. সমীকরণটি পুনরায় লেখি:
\[ y^2 - 2y + 8x - 23 = 0 \]
6. y-সম্পর্কিত অংশটি সম্পূর্ণ বর্গের রূপে রূপান্তর করি:
\[ y^2 - 2y = ( y^2 - 2y + 1 ) - 1 = ( y - 1 )^2 - 1 \]
7. অতএব, সমীকরণটি হয়ে যাবে: \[ ( y - 1 )^2 - 1 + 8x - 23 = 0 \] \[ ( y - 1 )^2 + 8x - 24 = 0 \] অথবা, \[ ( y - 1 )^2 = -8x + 24 \] বা, \[ ( y - 1 )^2 = -8 ( x - 3 ) \]
8. এখন, সমীকরণটি পরাবৃত্তের সাধারণ রূপে আছে: \[ ( y - k )^2 = 4p ( x - h ) \] এখানে, \[ k = 1,\quad h = 3,\quad 4p = -8 \Rightarrow p = -2 \]
9. প্রতিটি পরাবৃত্তের জন্য, উপকেন্দ্রের (Focus) স্থানাঙ্ক হলো: \[ (h + p, k) \quad \text{(যদি \( p > 0 \), তাহলে ডানদিকে; যদি \( p < 0 \), তাহলে বামদিকে)} \] এখানে, \( p = -2 \), তাই, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হবে: \[ ( h + p, k ) = ( 3 - 2, 1 ) = ( 1, 1 ) \]

উত্তর:

উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক: (1, 1)