বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ক্ষেত্রে -

1.  2sin^-1x = sin^-1(2xsqrt(1-x^2)) 
2.  
3. 2tan^-1x=tan^-1 ((2x)/(1-x^2))=sec^-1((1+x^2)/(1-x^2))   3sin^-1x = sin^-1(3x - 4x³ )

নিচের কোনটি সঠিক ?

Another Explanation (5): প্রশ্নে তিনটি বিবৃতি দেওয়া হয়েছে। এগুলোর সঠিকতা যাচাই করতে প্রতিটি আলাদাভাবে বিশ্লেষণ করি।

1. \( 2 \sin^{-1} x = \sin^{-1} (2x \sqrt{1 - x^2}) \)
   উপমা: \(\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta\) \\ যেখানে \(\theta = \sin^{-1} x\), তাই \(x = \sin \theta\) এবং \(\cos \theta = \sqrt{1 - x^2}\) \\ সুতরাং, \(\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2x \sqrt{1 - x^2}\) \\ অতএব, \(\sin^{-1}(2x \sqrt{1 - x^2}) = 2 \sin^{-1} x\) \\ এটি সত্য।
2. \( 2 \tan^{-1} x = \tan^{-1} \left(\frac{2x}{1 - x^2}\right) = \sec^{-1} \left(\frac{1 + x^2}{1 - x^2}\right) \)
   প্রথম অংশ: \(\tan 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}\) \\ যেখানে \(\theta = \tan^{-1} x\), তাই \(\tan \theta = x\). \\ অতএব, \(2 \tan^{-1} x = \tan^{-1} \left(\frac{2x}{1 - x^2}\right)\) — এটি সঠিক।
   দ্বিতীয় অংশ: \(\sec^{-1} y\) এর জন্য, \(\sec \phi = y \Rightarrow \phi = \sec^{-1} y\). \\ \(\sec 2 \theta = \frac{1}{\cos 2 \theta} = \frac{1}{2 \cos^2 \theta - 1}\). \\ তবে, এই অভিব্যক্তি \(\sec^{-1}\) এর সঙ্গে সরাসরি সম্পর্কিত নয়। \\ অতএব, \(\sec^{-1} \left(\frac{1 + x^2}{1 - x^2}\right)\) এই সমীকরণটি সাধারণত পরিচিত নয় এবং এটি সঠিক নয়। \\ সুতরাং, এই বিবৃতি অর্ধসত্য বা ভুল।
3. \( \sin^{-1} x = \sin^{-1} (3x - 4x^3) \)
   এখানে, \(3x - 4x^3\) কে \(\sin 3 \theta\) হিসেবে লেখা যায়, যেখানে \(\sin \theta = x\). \\ যদি \(\sin 3 \theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta\), তাহলে \(3x - 4x^3 = \sin 3 \theta\). \\ অতএব, \(\sin^{-1}(3x - 4x^3) = 3 \sin^{-1} x\). \\ সুতরাং, \(\sin^{-1} x = \frac{1}{3} \sin^{-1}(3x - 4x^3)\) — এটি মূল বিবৃতির সঙ্গে মেলে না। \\ অর্থাৎ, মূল বক্তব্যটি ভুল।

**সারসংক্ষেপ:** - বিবৃতি (i) সঠিক। - বিবৃতি (ii) অর্ধসত্য বা ভুল। - বিবৃতি (iii) ভুল। **উত্তর:** শুধুমাত্র (i) সঠিক। তবে প্রশ্নে "i, ii ও iii" সঠিক বলছে, যা ভুল। **তাই, সঠিক উত্তর হবে:** "কোনোটিই সঠিক নয়" বা "শুধুমাত্র (i) সঠিক"। যেহেতু প্রশ্নে উল্লেখ আছে: **উত্তর: "i, ii ও iii"** — এটি ভুল, কারণ সবগুলোই একসাথে সঠিক নয়। **অতএব, সঠিক ব্যাখ্যা:** ```html

প্রথম বিবৃতি সত্য।

দ্বিতীয় বিবৃতি আংশিক সত্য বা ভুল।

তৃতীয় বিবৃতি ভুল।

সুতরাং, শুধুমাত্র (i) সঠিক।

```