পৃথিবীর ব্যাসার্ধের সমান উচ্চতা থেকে পড়ন্ত বস্তুর গতিবেগ নির্ণয়

প্রশ্ন

পৃথিবীর ব্যাসার্ধের সমান উচ্চতা থেকে পড়ন্ত বস্তুর গতিবেগ কত?

সমাধান

ধরি, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(R\) এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\)। বস্তুটি \(h = R\) উচ্চতা থেকে পড়ছে।

বস্তুটি যখন \(h\) উচ্চতায় ছিল, তখন পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে দূরত্ব ছিল \(R + h = R + R = 2R\)।

মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি (Gravitational potential energy):

\(U = -\frac{GMm}{r}\), যেখানে \(G\) মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, \(M\) পৃথিবীর ভর, \(m\) বস্তুর ভর এবং \(r\) দূরত্ব।

সুতরাং, \(h\) উচ্চতায় বিভব শক্তি, \(U_1 = -\frac{GMm}{2R}\) এবং ভূপৃষ্ঠে বিভব শক্তি, \(U_2 = -\frac{GMm}{R}\)।

বিভব শক্তির পরিবর্তন \(\Delta U = U_2 - U_1 = -\frac{GMm}{R} - \left(-\frac{GMm}{2R}\right) = -\frac{GMm}{R} + \frac{GMm}{2R} = -\frac{GMm}{2R}\)।

এই বিভব শক্তির পরিবর্তন গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হবে। সুতরাং, গতিশক্তি \(K = - \Delta U = \frac{GMm}{2R}\)।

গতিশক্তি \(K = \frac{1}{2}mv^2\)। সুতরাং, \(\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2R}\)।

\(v^2 = \frac{GM}{R}\)। আমরা জানি, \(g = \frac{GM}{R^2}\), সুতরাং \(GM = gR^2\)।

অতএব, \(v^2 = \frac{gR^2}{R} = gR\)। সুতরাং, \(v = \sqrt{gR}\)।

আমরা জানি, \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\) এবং \(R = 6400 \, \text{km} = 6.4 \times 10^6 \, \text{m}\)।

সুতরাং, \(v = \sqrt{9.8 \times 6.4 \times 10^6} = \sqrt{62.72 \times 10^6} \approx 7919 \, \text{m/s} \approx 7.919 \, \text{km/s}\)।

কিন্তু সঠিক উত্তর \( 4\sqrt{2} \, \text{km/s} \approx 5.65 \, \text{km/s}\) 🤔দেয়া আছে। এর কারণ হল হিসাবের গন্ডগোল। ফের দেখা যাক।

\(h\) উচ্চতায় মোট শক্তি = \(KE + PE\) = 0 + \(-GMm/2R\) = \(-GMm/2R\)

পৃথিবীর পৃষ্ঠে মোট শক্তি = \(1/2 mv^2 - GMm/R\)

শক্তির সংরক্ষণ নীতি অনুসারে,

\(1/2 mv^2 - GMm/R = -GMm/2R\)

\(1/2 v^2 = GM/R - GM/2R = GM/2R\)

\(v^2 = GM/R\)

আমরা জানি \(g = GM/R^2\), সুতরাং \(GM = gR^2\)

অতএব, \(v^2 = gR^2/R = gR\)

\(v = \sqrt{gR}\)

কিন্তু এখানে একটি ভুল আছে। উচ্চতা থেকে পড়ার সময় অভিকর্ষজ ত্বরণ ধ্রুবক থাকেনা।

সঠিক উপায় হল শক্তির সংরক্ষণ সূত্র ব্যবহার করা:

\(-\frac{GMm}{2R} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}\)

\(\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{2R}\)

\(v^2 = \frac{GM}{R}\)

\(v = \sqrt{\frac{GM}{R}}\)

\(g = \frac{GM}{R^2}\) => \(GM = gR^2\)

\(v = \sqrt{\frac{gR^2}{R}} = \sqrt{gR}\)

\(v = \sqrt{9.8 \times 6400000} = \sqrt{62720000} \approx 7920 ms^{-1} = 7.92 kms^{-1}\) 😥

আবারও ভুল হচ্ছে। 🤔 চলো অন্যভাবে চেষ্টা করি।

বস্তুটি যখন r দূরত্বে, তখন তার ত্বরণ \(a = \frac{GM}{r^2}\)

সুতরাং, \(v dv = a dr\)

\(\int_{0}^{v} v dv = \int_{2R}^{R} \frac{GM}{r^2} dr\)

\(\frac{v^2}{2} = GM [-\frac{1}{r}]_{2R}^{R} = GM (-\frac{1}{R} + \frac{1}{2R}) = GM (\frac{-2+1}{2R}) = -\frac{GM}{2R}\)

এখানে একটা মাইনাস সাইন আসছে, যা হওয়া উচিত না। 🤔

চূড়ান্ত সমাধান:

শক্তির সংরক্ষণ নীতি অনুসারে:

\(E_i = E_f\)

প্রাথমিক শক্তি (যখন উচ্চতা R): \(E_i = -\frac{GMm}{2R}\)

চূড়ান্ত শক্তি (পৃথিবীর পৃষ্ঠে): \(E_f = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}\)

অতএব, \(-\frac{GMm}{2R} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}\)

\(\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{2R}\)

\(v^2 = \frac{GM}{R}\)

আমরা জানি, \(g = \frac{GM}{R^2}\), সুতরাং \(GM = gR^2\)

অতএব, \(v^2 = \frac{gR^2}{R} = gR\)

\(v = \sqrt{gR}\)

এখন, প্রশ্নে একটু অন্যরকম উত্তর দেওয়া আছে। যদি আমরা \(g = 10 \, m/s^2\) ধরি, তাহলে:

\(v = \sqrt{10 \times 6400000} = \sqrt{64000000} = 8000 \, m/s = 8 \, km/s\)

আসল উত্তর: \(v = \sqrt{gR} = \sqrt{10 \times 6400000} = 8000 \, m/s\)

প্রদত্ত উত্তর \(4\sqrt{2}\) km/s = \(4 \times 1.414\) km/s = \(5.656\) km/s. আসলে, সঠিক উত্তর \(v = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{gR}\)। এখন, \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\) এবং \(R = 6400 \, \text{km}\) হলে, \(v = \sqrt{9.8 \times 6400000} = \sqrt{62720000} \approx 7920 \, \text{m/s} \approx 7.92 \, \text{km/s}\). সুতরাং, দেওয়া উত্তরটি ভুল। সঠিক উত্তর হল প্রায় \(7.92\) কিমি/সেকেন্ড। 😅