Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, বিন্দু \( ( \sqrt{3}, 1) \) থেকে সরলরেখা \( \sqrt{3}x - y + 8 = 0 \) এর উপর লম্ব রেখার দৈর্ঘ্য \( P \) এবং এই লম্ব রেখাটি x-অক্ষের সাথে উৎপন্ন কোণ \( \theta \)।
ধাপ ১: সরলরেখার সমীকরণ ও বিন্দু থেকে দূরত্বের সূত্র
সরলরেখার সমীকরণ:
\[
\sqrt{3}x - y + 8 = 0
\]
বিন্দু থেকে এই রেখার দূরত্ব:
\[
d = \frac{| \sqrt{3} \cdot x_0 - y_0 + 8 |}{\sqrt{ (\sqrt{3})^2 + (-1)^2 }}
\]
এখানে, \( (x_0, y_0) = (\sqrt{3}, 1) \):
\[
d = \frac{| \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 1 + 8 |}{\sqrt{ 3 + 1 }}
= \frac{| 3 - 1 + 8 |}{2}
= \frac{| 10 |}{2}
= 5
\]
এখানে, এই দূরত্বই লম্ব রেখার দৈর্ঘ্য \( P \), কারণ লম্ব রেখা এই বিন্দু থেকে সরলরেখার উপর লম্বভাবে অঙ্কিত।
ধাপ ২: লম্ব রেখার কোণ \( \theta \) নির্ণয়
সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ:
\[
\sqrt{3}x - y + 8 = 0
\]
এর ঢাল:
\[
m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\text{y-সহঅক্ষের পরিবর্তন}}{\text{x-সহঅক্ষের পরিবর্তন}}
\]
সরলরেখার ঢাল:
\[
m = \frac{dy}{dx} = \text{রেখার সমীকরণের ঢাল} = \frac{\text{প্রতীক} y}{x} \ এর সাথে সম্পর্কিত নয়। তবে, সরলরেখার সাধারণ ধ্রুবক ঢাল \( m \):
\[
\text{প্রতীক} y = \sqrt{3}x + c
\]
অতএব, ঢাল:
\[
m = \sqrt{3}
\]
এবং, এই লম্ব রেখার সঙ্গে x-অক্ষের কোণের জন্য:
\[
\tan \theta = \frac{1}{m} = \frac{1}{\sqrt{3}}
\]
অর্থাৎ:
\[
\theta = \arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 30^\circ
\]
উপসংহার:
লম্ব রেখার দৈর্ঘ্য \( P = 5 \)।
**অতএব, উত্তরঃ**
5
