Another Explanation (5): সমাধান:
প্রশ্নে দেওয়া রেখাটির সমীকরণ হলো:
\[ 4x + 8y + 17 = 0 \]
প্রথমে, রেখাটির ধ্রুবকবিহীন সূচক (slope) নির্ণয় করি।
রেখার সমীকরণকে সাধারণ রূপে লিখলে:
\[ 4x + 8y = -17 \]
দ্বিতীয় ধাপে, রেখার ধ্রুবকবিহীন সূচক নির্ণয় করি:
\[ y = mx + c \]
এখানে, সমীকরণ থেকে y এর জন্য প্রকাশ করলে:
\[ 8y = -4x - 17 \]
\[ y = -\frac{1}{2}x - \frac{17}{8} \]
অর্থাৎ, রেখার ধ্রুবকবিহীন সূচক:
\[ m = -\frac{1}{2} \]
---
(i) সমান্তরাল রেখার সমীকরণ:
সমান্তরাল রেখার ধ্রুবকবিহীন সূচক একই হবে।
অর্থাৎ, সমান্তরাল রেখার সমীকরণ হবে:
\[ 2x + 4y + k = 0 \]
এখানে, এর ধ্রুবকবিহীন সূচক:
\[ y = -\frac{1}{2}x - \frac{k}{4} \]
প্রথম রেখার সমীকরণের ধ্রুবকবিহীন সূচক: \(-\frac{1}{2}\)
অতএব, সমান্তরাল রেখার জন্য:
\[ 2x + 4y + k = 0 \]
এটি একটি সমীকরণ যেখানে ধ্রুবক \(k\) যে কোন মানে হতে পারে।
সুতরাং, এই সমীকরণটি সঠিক।
---
(ii) লম্ব রেখার সমীকরণ:
লম্ব রেখার ধ্রুবকবিহীন সূচক হবে বিপরীত ও ঋণাত্মক।
অর্থাৎ, যদি মূল রেখার সূচক হয় \(m = -\frac{1}{2}\),
তাহলে লম্ব রেখার সূচক হবে:
\[ m_{perpendicular} = 2 \]
লম্ব রেখার সমীকরণ সাধারণত:
\[ y = 2x + c' \]
সমীকরণের সরলরূপে:
\[ y - 2x = c' \]
অর্থাৎ,
\[ 2x - y + c'' = 0 \]
এখানে, \(c''\) যে কোন ধ্রুবক।
অতএব, এই সমীকরণও সঠিক।
---
(iii) রেখাটির ধনাত্মক দিকের সাথে স্থূলকোণ:
রেখার ধ্রুবকবিহীন সূচক \(m = -\frac{1}{2}\)।
এখানে, রেখার ধনাত্মক দিকের সাথে স্থূলকোণ উৎপন্ন করে, অর্থাৎ, রেখার ধনাত্মক দিকের সাথে x অক্ষের ধনাত্মক দিকের মধ্যে উৎপন্ন কোণটি নির্ণয় করি।
ধনাত্মক দিকের সাথে রেখার ধ্রুবকবিহীন সূচক: \(m = -\frac{1}{2}\)
রেখার ধ্রুবকবিহীন সূচকের কোণ \(\theta\) হবে:
\[ \theta = \arctan(m) = \arctan\left(-\frac{1}{2}\right) \]
অর্থাৎ,
\[ \theta \approx -26.565^\circ \]
ধনাত্মক দিকের সাথে এই কোণের মান হবে:
\[ 180^\circ + (-26.565^\circ) = 153.435^\circ \]
অর্থাৎ, এই কোণটি ধনাত্মক দিকের সাথে উৎপন্ন করে।
সুতরাং, এটি সঠিক।
---
উপসংহার:
উপরে বিশ্লেষণ অনুযায়ী,
সমান্তরাল রেখার সমীকরণ (i),
লম্বরেখার সমীকরণ (ii),
এবং ধনাত্মক দিকের সাথে স্থূলকোণ (iii) সবই সঠিক।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো:
i, ii & iii
