f'(α) = 0 এবং h > 0 অতিক্ষুদ্র মানের জন্য f'(α + h) > 0 এবং f'(α - h) < 0 হলে, f'(α)-

প্রশ্নে বলা হয়েছে:

• \(f'(\alpha) = 0\)
• \(h > 0\) (অতিক্ষুদ্র মানের জন্য)
• অতিক্ষুদ্র \(h\) এর জন্য,
• \(f'(\alpha + h) > 0\)
• \(f'(\alpha - h) < 0\)

এখন, এই তথ্যগুলির ভিত্তিতে আমরা বিশ্লেষণ করি:

ধাপ ১: তুলনা করি \(f'(\alpha + h)\) ও \(f'(\alpha - h)\)

দেওয়া হয়েছে:

ধাপ ২: সাধারণত, যদি \(f'\) ধারাবাহিক হয় এবং \(\alpha\) এ \(f'(\alpha) = 0\), তবে:

• উত্তরাধিকার সূত্রে, \(f'\) এর মান \(\alpha\) এ 0, এবং \(\alpha\) এ \(f'\) এর চারপাশে মানের পরিবর্তন দেখা যায়।
• যদি \(f'\) ডাইভার্জ বা অপ্রতিবর্তনশীল হয়, তবে এই মান পরিবর্তনের জন্য ধারাবাহিকতা গুরুত্বপূর্ণ।

ধাপ ৩: বিশ্লেষণ

অতিক্ষুদ্র \(h\) এর জন্য:

• \(f'(\alpha + h) > 0\), অর্থাৎ, \(\alpha + h\) এর কাছাকাছি \(f'\) ধনাত্মক।
• \(f'(\alpha - h) < 0\), অর্থাৎ, \(\alpha - h\) এর কাছাকাছি \(f'\) ঋণাত্মক।

এটি থেকে বোঝা যায় যে, \(f'\) এর মান \(\alpha\) এ শূন্য, কিন্তু তার আশেপাশে, \(\alpha - h\) এ \(f'\) ঋণাত্মক এবং \(\alpha + h\) এ ধনাত্মক।

ধাপ ৪: ফলাফল

এটি নির্দেশ করে যে, \(f'\) এর মান \(\alpha\) এ শূন্য হলেও, তার ডানদিকের দিকে (positive side) \(f'\) ধনাত্মক এবং বামদিকের (negative side) \(f'\) ঋণাত্মক।

অর্থাৎ, \(f'\) এর পরিবর্তন \(\alpha\) এ একটি স্থানীয় সর্বনিম্ন বা সর্বোচ্চের সংকেত দেয় না, বরং \(f'\) এর মান পার্শ্ববর্তী পয়েন্টে পরিবর্তিত হচ্ছে।

উপসংহার:

তাই, এই পরিস্থিতিতে, \(f'(\alpha)\) এর মান কোনও নির্দিষ্ট মান নয়।

অর্থাৎ, উত্তর: "কোনটিই নয়"