\( x^2 + y^2 - 6x - 4y + c = 0 \) রেখাটি \( y \) অক্ষকে স্পর্শ করলে \( c \) এর মান কোনটি?

Another Explanation (5):

দেওয়া রেখার সমীকরণ:

\( x^2 + y^2 - 6x - 4y + c = 0 \)

প্রশ্ন: রেখাটি যদি \( y \) অক্ষকে স্পর্শ করে, তবে \( c \) এর মান কত হবে?

প্রথমে, এই রেখাটি একটি বৃত্তের সমীকরণ।

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ:

\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)

আমাদের সমীকরণকে সম্পূর্ণ-square রূপে রূপান্তর করি।

প্রথমে, \( x \) এর জন্য:

\[ x^2 - 6x = (x^2 - 6x + 9) - 9 = (x - 3)^2 - 9 \]

পরের, \( y \) এর জন্য:

\[ y^2 - 4y = (y^2 - 4y + 4) - 4 = (y - 2)^2 - 4 \]

অতএব, সমীকরণটি রূপান্তরিত হয়:

\[ (x - 3)^2 - 9 + (y - 2)^2 - 4 + c = 0 \] \[ \Rightarrow (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 13 - c \]

এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ যেখানে কেন্দ্র \( (3, 2) \) ও ব্যাসার্ধের স্কোয়ার \( R^2 = 13 - c \)।

যেহেতু রেখাটি \( y \)-অক্ষকে স্পর্শ করে, অর্থাৎ, রেখাটি \( y \)-অক্ষের সাথে স্পর্শ করে, তখন এই রেখার সঙ্গে \( y \)-অক্ষের দূরত্ব সমান ব্যাসার্ধের।

যেহেতু \( y \)-অক্ষের জন্য \( x = 0 \), সেটি বৃত্তের উপরে রেখার জন্য ব্যবহার করি।

অর্থাৎ, যখন \( x = 0 \), তখন বৃত্তের উপর পয়েন্টের জন্য:

\[ (0 - 3)^2 + (y - 2)^2 = 13 - c \] \[ 9 + (y - 2)^2 = 13 - c \]

বৃত্তের কেন্দ্রের থেকে \( y \)-অক্ষের দূরত্ব হল, কেন্দ্রের \( x \) মানের মান থেকে, অর্থাৎ, \( |3| = 3 \)।

যেহেতু বৃত্তটি \( y \)-অক্ষের সাথে স্পর্শ করে, তখন তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এই দূরত্বের সমান।

অর্থাৎ:

\[ \sqrt{(0 - 3)^2 + (0 - 2)^2} = R \]

কিন্তু এখানে, আমরা সরাসরি বলছি যে, এই রেখাটা \( y \)-অক্ষকে স্পর্শ করে, অর্থাৎ, রেখাটির সাথে \( y \)-অক্ষের দূরত্ব = ব্যাসার্ধের।

ব্যাসার্ধ \( R \):

\[ R = \sqrt{(0 - 3)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \]

অতএব,

\[ R^2 = 13 \]

এখন, এই মানের সাথে সমীকরণের তুলনা করি:

\[ 13 - c = R^2 = 13 \] \[ \Rightarrow 13 - c = 13 \] \[ \Rightarrow c = 0 \]
**তবে, এখানে একটি ভুল আছে। কারণ, আমরা বলেছি যে রেখা \( y \)-অক্ষকে স্পর্শ করে, অর্থাৎ, রেখাটি \( y \)-অক্ষের সাথে স্পর্শ করছে।**
প্রকৃতপক্ষে, রেখাটি স্পর্শ করে মানে, রেখার সাথে \( y \)-অক্ষের দূরত্ব সমান ব্যাসার্ধের। এখন, রেখার সমীকরণে, রেখাটির জন্য সাধারণত: \( y \) এর মান নির্ণয় করতে হবে। তবে, এখানে সরাসরি ব্যাখ্যায়, আমরা জানি যে, যদি একটি বৃত্ত \( y \)-অক্ষকে স্পর্শ করে, তবে ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কেন্দ্রের \( x \)-মানের মানের সাথে সমান। বৃত্তের কেন্দ্র \( (3, 2) \), এবং এর \( x \)-মান \( 3 \)। রেখা \( y \)-অক্ষের সাথে স্পর্শ করতে হলে, ব্যাসার্ধের দূরত্ব কেন্দ্র থেকে \( y \)-অক্ষ পর্যন্ত সমান হবে। অর্থাৎ, ব্যাসার্ধ \( R = |3| = 3 \)। সুতরাং, \[ R^2 = 9 \] এবং, \[ 13 - c = 9 \] \[ \Rightarrow c = 13 - 9 = 4 \] **উপসংহার:** অতএব, রেখাটি \( y \)-অক্ষকে স্পর্শ করলে, \( c \) এর মান হবে **4**।