y²=4x পরাবৃত্ত এবং y=x রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল -

Explanation:

Explanation (2):

ব্যাখ??যা : y² = 4x .... ( 1 ) ⇒ y = 2√x

আবার , y = x

( 1 ) নং এ y = x বসিয়ে , x² = 4x ⇒ x ( x - 4 ) = 0 ⇒ x = 0 , 4

ক্ষেত্রফল = ∫₀⁴ ( 2√x - x ) dx = 2 * (2/3) * [x^3/2]₀⁴ - (1/2) * [x²]₀⁴

= (4/3) * (4)^3/2 - (1/2) * (4)²

= (4/3) * 8 - (1/2) * 16

= 32/3 - 8

= (32 - 24) / 3

= 8 / 3

সঠিক উত্তর : ক .

Another Explanation (3):

y² = 4x পরাবৃত্ত এবং y = x রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল -

1. 8/3 বর্গ একক (Correct)
2. 4/3 বর্গ একক (Incorrect)
3. 6 বর্গ একক (Incorrect)
4. 1/3 বর্গ একক (Incorrect)
5. 16/3 বর্গ একক (Incorrect)

ব্যাখ্যা:

প্রথমে, আমরা পরাবৃত্ত এবং রেখার ছেদ বিন্দুগুলো নির্ণয় করি।

পরাবৃত্তের সমীকরণ: y² = 4x ...(1)

রেখার সমীকরণ: y = x

সমীকরণ (1) এ y = x বসিয়ে পাই,

x² = 4x

x² - 4x = 0

x(x - 4) = 0

সুতরাং, x = 0 অথবা x = 4

যখন x = 0, y = 0

যখন x = 4, y = 4

সুতরাং, ছেদ বিন্দুগুলো হলো (0, 0) এবং (4, 4)।

আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য আমরা ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করব। ক্ষেত্রফল হবে পরাবৃত্ত এবং রেখার মধ্যবর্তী অঞ্চলের ইন্টিগ্রাল।

y² = 4x ⇒ y = ±2√x

যেহেতু আমরা প্রথম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রফল বিবেচনা করছি, তাই y = 2√x নেব।

আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ∫[0 থেকে 4] (y_{পরাবৃত্ত} - y_রেখা) dx

ক্ষেত্রফল = ∫[0 থেকে 4] (2√x - x) dx

ক্ষেত্রফল = ∫[0 থেকে 4] (2x^1/2 - x) dx

এখন আমরা ইন্টিগ্রেশন করব:

ক্ষেত্রফল = [2 * (x^{(1/2) + 1} / ((1/2) + 1)) - (x^{1 + 1} / (1 + 1))] [0 থেকে 4]

ক্ষেত্রফল = [2 * (x^3/2 / (3/2)) - (x² / 2)] [0 থেকে 4]

ক্ষেত্রফল = [2 * (2/3) * x^3/2 - (x² / 2)] [0 থেকে 4]

ক্ষেত্রফল = [(4/3) * x^3/2 - (x² / 2)] [0 থেকে 4]

এখন আমরা সীমা প্রতিস্থাপন করব:

ক্ষেত্রফল = [(4/3) * (4)^3/2 - ((4)² / 2)] - [(4/3) * (0)^3/2 - ((0)² / 2)]

ক্ষেত্রফল = [(4/3) * (2²)^3/2 - (16 / 2)] - [0 - 0]

ক্ষেত্রফল = [(4/3) * (2)³ - 8]

ক্ষেত্রফল = [(4/3) * 8 - 8]

ক্ষেত্রফল = (32/3) - 8

ক্ষেত্রফল = (32 - 24) / 3

ক্ষেত্রফল = 8 / 3 বর্গ একক

সুতরাং, y² = 4x পরাবৃত্ত এবং y = x রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 8/3 বর্গ একক।

সঠিক উত্তর: A. 8/3 বর্গ একক

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \(y^2=4x\) পরাবৃত্ত এবং \(y=x\) রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:

সমাধান:

প্রথমে, পরাবৃত্ত \(y^2 = 4x\) এবং সরলরেখা \(y = x\) এর ছেদ বিন্দুগুলো নির্ণয় করি। \(y^2 = 4x\) সমীকরণে \(y = x\) বসিয়ে পাই, \(x^2 = 4x\) \(x^2 - 4x = 0\) \(x(x - 4) = 0\) সুতরাং, \(x = 0\) অথবা \(x = 4\) যখন \(x = 0\), তখন \(y = 0\) যখন \(x = 4\), তখন \(y = 4\) সুতরাং, ছেদ বিন্দুগুলো হলো \((0, 0)\) এবং \((4, 4)\). এখন, আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করি। ক্ষেত্রফল হবে: \[ A = \int_{0}^{4} (\sqrt{4x} - x) \, dx \] এখানে, \(\sqrt{4x}\) হলো পরাবৃত্ত \(y^2 = 4x\) থেকে প্রাপ্ত \(y\) এর মান এবং \(x\) হলো সরলরেখা \(y = x\) থেকে প্রাপ্ত \(y\) এর মান। \[ A = \int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - x) \, dx \] \[ A = \left[ 2 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^2 \right]_{0}^{4} \] \[ A = \left[ \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^2 \right]_{0}^{4} \] \[ A = \left( \frac{4}{3} (4)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} (4)^2 \right) - \left( \frac{4}{3} (0)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} (0)^2 \right) \] \[ A = \left( \frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{1}{2} \cdot 16 \right) - 0 \] \[ A = \frac{32}{3} - 8 \] \[ A = \frac{32 - 24}{3} \] \[ A = \frac{8}{3} \] সুতরাং, পরাবৃত্ত \(y^2 = 4x\) এবং সরলরেখা \(y = x\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(\frac{8}{3}\) বর্গ একক। 🎉