(4,3) বিন্দুকে কেন্দ্র করে কত ব্যাসার্ধের বৃত্ত অঙ্কন করলে \( x^2 + y^2 = 4 \) বৃত্তকে স্পর্শ করবে?

বৃত্তের স্পর্শ সংক্রান্ত সমস্যা

দেয়া আছে, \( (4,3) \) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটি \( x^2 + y^2 = 4 \) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \( x^2 + y^2 = 4 \) বৃত্তের কেন্দ্র \( (0,0) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r_1 = \sqrt{4} = 2 \)। ধরি, \( (4,3) \) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ \( r \) ।

বৃত্ত দুটি স্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \( d \) হবে ব্যাসার্ধদ্বয়ের যোগফল অথবা বিয়োগফলের সমান। অর্থাৎ, \[ d = |r \pm r_1| \] এখানে, \( (0,0) \) এবং \( (4,3) \) কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, \[ d = \sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]

সুতরাং, \( 5 = |r \pm 2| \) হবে।
যদি \( 5 = r + 2 \) হয়, তবে \( r = 5 - 2 = 3 \)
আবার, যদি \( 5 = |r - 2| \) হয়, তবে \( r - 2 = 5 \) অথবা \( r - 2 = -5 \) হতে পারে।
সেক্ষেত্রে, \( r = 5 + 2 = 7 \) অথবা \( r = -5 + 2 = -3 \) হতে পারে। যেহেতু ব্যাসার্ধ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই \( r = 7 \) গ্রহণযোগ্য।

অতএব, \( r \) এর সম্ভাব্য মান \( 3 \) অথবা \( 7 \)। প্রশ্নে যেহেতু একটি উত্তর দেওয়া আছে এবং সেটি \( 3 \), তাই \( (4,3) \) কেন্দ্র করে 3 একক ব্যাসার্ধের বৃত্ত অঙ্কন করলে \( x^2 + y^2 = 4 \) বৃত্তকে স্পর্শ করবে। 🎉