2intsin(2e^(x^2))xe^(x^2)dx

প্রশ্ন: \(\int 2\sin(2e^{x^2})xe^{x^2} dx\) 🧐

সমাধান:

ধরি, \(u = e^{x^2}\) 🤓

তাহলে, \(\frac{du}{dx} = 2xe^{x^2}\) 😮

সুতরাং, \(du = 2xe^{x^2} dx\) ✨

এখন, সমাকলনটি হবে:

\(\int \sin(2u) du\) 😎

আমরা জানি, \(\int \sin(ax) dx = -\frac{1}{a}\cos(ax) + C\) 🤩

অতএব, \(\int \sin(2u) du = -\frac{1}{2}\cos(2u) + C\) 🤯

u এর মান বসিয়ে পাই, \(-\frac{1}{2}\cos(2e^{x^2}) + C\) 👍

বিকল্প উত্তর যাচাই:

যদি উত্তর \(\cos^2(2e^{x^2}) + C\) হয়, তাহলে এর অন্তরকলজ হবে:

\(\frac{d}{dx} (\cos^2(2e^{x^2}) + C) = 2\cos(2e^{x^2}) \cdot (-\sin(2e^{x^2})) \cdot 2e^{x^2} \cdot 2x = -8x e^{x^2} \cos(2e^{x^2}) \sin(2e^{x^2}) = -4x e^{x^2} \sin(4e^{x^2})\).

যা আমাদের প্রদত্ত ইন্টিগ্রান্ড এর সাথে মেলে না।

সুতরাং, সঠিক উত্তর: \(-\frac{1}{2}\cos(2e^{x^2}) + C\) 💖