\( y = \tan^{-1} \left( \frac{4x}{1-4x^2} \right) \) হলে \( \frac{dy}{dx} \) সমান কত?

প্রদত্ত ফাংশনটি হলো:

\[ y = \tan^{-1} \left( \frac{4x}{1 - 4x^2} \right) \]

আমরা চাই \( \frac{dy}{dx} \) নির্ণয় করতে।

প্রথমে মনে করুন:

\[ u = \frac{4x}{1 - 4x^2} \]

তাহলে,

\[ y = \tan^{-1}(u) \]

এবং, ডিফারেনশিয়েশন অনুযায়ী:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx} \]

ধাপে ধাপে সমাধান:

ধাপ 1: \( u \) এর ডেরিভেটিভ নির্ণয়:

প্রয়োগ করুন রুল অব কোটা:

\[ u = \frac{4x}{1 - 4x^2} \]

অপর্যাপ্ত সমন্বয় দিয়ে লিখুন:

\[ u = 4x \cdot (1 - 4x^2)^{-1} \]

ডিফারেনশিয়েট করুন:

\[ \frac{du}{dx} = 4 \cdot (1 - 4x^2)^{-1} + 4x \cdot \left( -1 \right) \cdot (1 - 4x^2)^{-2} \cdot (-8x) \]

এখানে, চেইন রুল প্রয়োগ করা হয়েছে।

ধাপ 2: ডেরিভেটিভের মান নির্ণয় করুন:

প্রথম অংশ:

\[ 4 \cdot (1 - 4x^2)^{-1} \]

দ্বিতীয় অংশ:

\[ 4x \cdot (-1) \cdot (1 - 4x^2)^{-2} \cdot (-8x) = 4x \cdot 8x \cdot (1 - 4x^2)^{-2} = 32x^2 \cdot (1 - 4x^2)^{-2} \]

সুতরাং:

\[ \frac{du}{dx} = \frac{4}{1 - 4x^2} + 32x^2 \cdot (1 - 4x^2)^{-2} \]

ধাপ 3: সমন্বয় করে সাধারণ ফর্মে লিখুন:

প্রথম অংশকে সাধারণ সূচক আকারে লিখুন:

\[ \frac{4(1 - 4x^2)}{(1 - 4x^2)^2} + \frac{32x^2}{(1 - 4x^2)^2} \]

এটি হয়ে যাবে:

\[ \frac{4(1 - 4x^2) + 32x^2}{(1 - 4x^2)^2} = \frac{4 - 16x^2 + 32x^2}{(1 - 4x^2)^2} = \frac{4 + 16x^2}{(1 - 4x^2)^2} \]

ধাপ 4: \( \frac{dy}{dx} \) এর মান নির্ণয়:

Recall:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx} \]

\[ u = \frac{4x}{1 - 4x^2} \]

\[ u^2 = \frac{16x^2}{(1 - 4x^2)^2} \]

\[ 1 + u^2 = 1 + \frac{16x^2}{(1 - 4x^2)^2} = \frac{(1 - 4x^2)^2 + 16x^2}{(1 - 4x^2)^2} \]

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{(1 - 4x^2)^2 + 16x^2}{(1 - 4x^2)^2}} \times \frac{4 + 16x^2}{(1 - 4x^2)^2} \]

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{(1 - 4x^2)^2}{(1 - 4x^2)^2 + 16x^2} \times \frac{4 + 16x^2}{(1 - 4x^2)^2} \]

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{4 + 16x^2}{(1 - 4x^2)^2 + 16x^2} \]

\[ (1 - 4x^2)^2 + 16x^2 = (1 - 4x^2)^2 + 16x^2 \]

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{4(1 + 4x^2)}{(1 - 4x^2)^2 + 16x^2} \] তবে, ডেনোমিনেটরটি সরলীকরণে, এটি সমাধান করা যায় যে: \[ (1 - 4x^2)^2 + 16x^2 = 1 + 8x^2 \] যেহেতু: \[ (1 - 4x^2)^2 = 1 - 8x^2 + 16x^4 \] অতএব, \[ (1 - 4x^2)^2 + 16x^2 = 1 - 8x^2 + 16x^4 + 16x^2 = 1 + 8x^2 + 16x^4 \] অনুপ্রেরণায়, এটি আরো সহজভাবে দেখানো যায় যে ডেরিভেটিভ মূলত: \[ \boxed{\frac{4}{1 + 4x^2}} \] সুতরাং, উত্তর হলো:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{4}{1 + 4x^2} \]