y = (1 + 1/x)^2x হলে, dy/dx =?

Explanation:

Another Explanation (5): y = (1 + \(\frac{1}{x}\))^{2x} হলে, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয়: প্রথমে, উভয় পক্ষে স্বাভাবিক লগারিদম (\(ln\)) নিয়ে পাই: \(ln(y) = ln[(1 + \frac{1}{x})^{2x}]\) \(ln(y) = 2x \cdot ln(1 + \frac{1}{x})\) এখন, x এর সাপেক্ষে উভয় পক্ষের অন্তরকলন করি। এখানে, \(\frac{d}{dx}ln(y) = \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}\) এবং \(\frac{d}{dx}[2x \cdot ln(1 + \frac{1}{x})]\) এর জন্য গুণফল সূত্র (product rule) ব্যবহার করতে হবে। \(\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 2 \cdot ln(1 + \frac{1}{x}) + 2x \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \cdot (-\frac{1}{x^2})\) \(\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 2 \cdot ln(1 + \frac{1}{x}) + 2x \cdot \frac{x}{x + 1} \cdot (-\frac{1}{x^2})\) \(\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 2 \cdot ln(1 + \frac{1}{x}) - \frac{2x^2}{x^2(x + 1)}\) \(\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 2 \cdot ln(1 + \frac{1}{x}) - \frac{2}{x + 1}\) এখন, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় করার জন্য y দিয়ে গুণ করি: \(\frac{dy}{dx} = y \cdot [2 \cdot ln(1 + \frac{1}{x}) - \frac{2}{x + 1}]\) y এর মান বসিয়ে পাই: \(\frac{dy}{dx} = (1 + \frac{1}{x})^{2x} \cdot [2 \cdot ln(1 + \frac{1}{x}) - \frac{2}{x + 1}]\) \(\frac{dy}{dx} = 2(1 + \frac{1}{x})^{2x} \cdot [ln(1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x + 1}]\) সুতরাং, \(\frac{dy}{dx} = 2(1 + \frac{1}{x})^{2x}[ln(1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x + 1}]\) 🥳