y+x=x^-y সমীকরণ হতে dy/dx এর মান কত?

Explanation:

Another Explanation (5): y + x = x^-y সমীকরণ থেকে \( \frac{dy}{dx} \) নির্ণয়: উভয় পক্ষে x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই: \[ \frac{d}{dx}(y + x) = \frac{d}{dx}(x^{-y}) \] বামপক্ষ: \[ \frac{d}{dx}(y + x) = \frac{dy}{dx} + 1 \] ডানপক্ষ: এখানে, \( x^{-y} = e^{-y \ln x} \) সুতরাং, \[ \frac{d}{dx}(x^{-y}) = \frac{d}{dx}(e^{-y \ln x}) \] \[ = e^{-y \ln x} \cdot \frac{d}{dx}(-y \ln x) \] \[ = x^{-y} \cdot \left( -\frac{dy}{dx} \ln x - y \cdot \frac{1}{x} \right) \] \[ = x^{-y} \left( -\frac{dy}{dx} \ln x - \frac{y}{x} \right) \] এখন, উভয়পক্ষকে একত্রিত করে: \[ \frac{dy}{dx} + 1 = x^{-y} \left( -\frac{dy}{dx} \ln x - \frac{y}{x} \right) \] \[ \frac{dy}{dx} + 1 = x^{-y} \left( -\ln x \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} \right) \] \[ \frac{dy}{dx} + 1 = -x^{-y} \ln x \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} x^{-y} \] এখন, \( \frac{dy}{dx} \) যুক্ত পদগুলোকে একপাশে নিয়ে যাই: \[ \frac{dy}{dx} + x^{-y} \ln x \frac{dy}{dx} = -1 - \frac{y}{x} x^{-y} \] \[ \frac{dy}{dx} (1 + x^{-y} \ln x) = -1 - \frac{y}{x} x^{-y} \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{-1 - \frac{y}{x} x^{-y}}{1 + x^{-y} \ln x} \] আমরা জানি, \( x^{-y} = y + x \) \[ \frac{dy}{dx} = \frac{-1 - \frac{y}{x} (y + x)}{1 + (y + x) \ln x} \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{-1 - \frac{y^2}{x} - y}{1 + (y + x) \ln x} \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{-\frac{x + y^2 + xy}{x}}{1 + (y + x) \ln x} \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{-(x + y^2 + xy)}{x (1 + (y + x) \ln x)} \] \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{xy + x + y^2}{x (1 + (x + y) \ln x)} \] অতএব, \( \frac{dy}{dx} = -\frac{xy + x + y^2}{x[1 + (x + y) \ln x]} \) 🥳🎉