d/dx(x^x)= x^x f(x)  হলে f(x) = ?

Another Explanation (5):

সমাধান:

আমরা জানি যে, যদি \( y = x^x \), তাহলে এর ডেরিভেটিভ \( \frac{dy}{dx} \) দেওয়া হয়: \[ \frac{dy}{dx} = x^x \cdot f(x) \] এবং আমাদের লক্ষ্য হলো এই \( f(x) \) নির্ণয় করা। প্রথমে, \( y = x^x \) কে ল্যাগারেথমে রূপান্তর করি: \[ y = x^x \Rightarrow \ln y = x \ln x \] এখন, উভয় পাশে ডেরিভেট করি: \[ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x \ln x) \] বাম দিক থেকে: \[ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} \] ডান দিক থেকে: \[ \frac{d}{dx} (x \ln x) = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 \] অতএব, \[ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + 1 \] এবং, \[ \frac{dy}{dx} = y (\ln x + 1) \] এখানে, \( y = x^x \), তাই: \[ \frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1) \] উপরে উল্লেখিত ডেরিভেটিভের সাথে আমাদের মূল সূত্র থেকে, \[ \frac{dy}{dx} = x^x \cdot f(x) \] অতএব, \[ x^x \cdot f(x) = x^x (\ln x + 1) \] অতএব, \[ f(x) = \ln x + 1 \] ### চূড়ান্ত উত্তর: \[ \boxed{f(x) = 1 + \ln x} \]