Another Explanation (5):
প্রশ্নের সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: \( y = x^3 + 2x^2 + 4 \)
প্রথমে, বিন্দু \( (1, 7) \) এ স্পর্শকের ঢাল ও সমীকরণ নির্ণয় করি।
ধাপ ১: ডেরিভেটিভ (স্পর্শকের ঢাল নির্ণয়)
\[
\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x
\]
বিন্দু \( (1,7) \) এ ঢাল:
\[
m = 3(1)^2 + 4(1) = 3 + 4 = 7
\]
অতএব, স্পর্শকের ঢাল = 7, যা প্রশ্নের প্রথম দাবির সাথে মিলে যায়।
ধাপ ২: স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয়
স্পর্শকের সমীকরণ:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
\[
y - 7 = 7(x - 1)
\]
\[
y - 7 = 7x - 7
\]
\[
y = 7x
\]
প্রশ্নে উল্লেখ করা স্পর্শকের সমীকরণ: \( 7x - y + 5 = 0 \)
এখানে,
\[
7x - y + 5 = 0 \Rightarrow y = 7x + 5
\]
এটি মূল স্পর্শকের সমীকরণের সাথে মেলে না। অতএব, এটি ভুল।
ধাপ ৩: অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয়
অভিলম্বের ঢাল একই হবে, অর্থাৎ 7।
অভিলম্ব পয়েন্ট: \( (1,7) \)
অভিলম্বের সমীকরণ:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
\[
y - 7 = 7(x - 1)
\]
\[
y = 7x
\]
প্রশ্নে উল্লেখ: \( x + 7y = 50 \)
চেক করি যদি এই সরলরেখা অভিলম্বের সমীকরণের সাথে মিলে:
\[
x + 7(7x) = 50
\]
\[
x + 49x = 50
\]
\[
50x = 50
\]
\[
x = 1
\]
এবং,
\[
y = 7(1) = 7
\]
অর্থাৎ, এই রেখা \( (1,7) \) বিন্দু দিয়ে যায় এবং অভিলম্বের ঢাল 7, তাই এটি অভিলম্বের সমীকরণ হতে পারে।
সুতরাং, এই অভিলম্বের সমীকরণ সত্য।
**সারাংশ:**
- স্পর্শকের ঢাল: 7 ✅
- স্পর্শকের সমীকরণ: \( y = 7x \neq 7x + 5 \) → ভুল
- অভিলম্বের সমীকরণ: \( x + 7y = 50 \) → সত্য
উপসংহার: "i ও iii" সঠিক।
উত্তর:
i ও iii
