Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( y = mx(1 - x) \) বক্ররেখার একটি বিন্দুতে স্পর্শক \( x \)-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে 60° কোণে যদি উৎপন্ন হয়, তাহলে \( m \) এর মান নির্ণয় করুন।
উত্তর: \( \sqrt{3} \)
সমাধান:
প্রথমে, \( y \) এর ডেরিভেটিভ নির্ণয় করি:
\[
\frac{dy}{dx} = m(1 - x) + mx(-1) = m(1 - 2x)
\]
এখন, স্পর্শক রেখার ঢাল \( \frac{dy}{dx} \) হয়।
চাই, যে বিন্দুতে স্পর্শক \( x \)-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে 60° কোণে।
তাহলে,
\[
\tan 60^\circ = \sqrt{3} = \left| \frac{dy}{dx} \right| = |m(1 - 2x)|
\]
অর্থাৎ,
\[
|m(1 - 2x)| = \sqrt{3}
\]
এবং, \( y = mx(1 - x) \) থেকে, বিন্দুটি হবে \( (x, y) \), যেখানে \( y \) নির্দিষ্ট নয়, তবে \( \frac{dy}{dx} \) এর সঙ্গে সম্পর্ক নির্ণয় করতে হবে।
তবে, স্পর্শক ধনাত্মক দিকের সাথে 60° কোণে, অর্থাৎ, ঢালটি \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \)।
অতএব,
\[
|m(1 - 2x)| = \sqrt{3}
\]
আরও, স্পর্শ বিন্দুটি \( (x, y) \), যেখানে \( y = mx(1 - x) \)।
ধরা যাক, \( x = x_0 \), তখন,
\[
|m(1 - 2x_0)| = \sqrt{3}
\]
এবং, স্পর্শক ধনাত্মক দিকের জন্য,
\[
m(1 - 2x_0) = \sqrt{3}
\]
এখন, \( y = mx(1 - x) \) থেকে, স্পর্শ বিন্দুর জন্য, স্পর্শক রেখার ঢালটি হল \( \sqrt{3} \)।
কিন্তু, স্পর্শক ধনাত্মক দিকের সাথে 60° কোণে, অর্থাৎ, ঢাল \( \sqrt{3} \)।
অতএব,
\[
m(1 - 2x_0) = \sqrt{3}
\]
এবং এটি থেকে, \( m \) নির্ণয় করি।
ধরা যাক, \( x_0 = \frac{1}{2} \), কারণ, এই বিন্দুতে সমান্তরাল বিন্দুতে \( y \) এর মান \( 0 \), তাই,
\[
m(1 - 2 \times \frac{1}{2}) = m(1 - 1) = 0
\]
তাই, এই বিন্দুতে ঢাল 0, যা 60° কোণে ধ্রুবক নয়।
অন্যদিকে, যদি \( x_0 \neq \frac{1}{2} \), তাহলে,
\[
m = \frac{\sqrt{3}}{1 - 2x_0}
\]
অতএব, যদি, \( x_0 \) এর মান নির্ণয় করতে চাই, তাহলে, \( y \) এবং \( \frac{dy}{dx} \) এর সম্পর্ক ব্যবহার করে।
তবে, মূল প্রশ্নের জন্য, \( m \) এর মান যখন স্পর্শক ঢাল \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \), তখন,
\[
m = \sqrt{3}
\]
অতএব,
\(\boxed{\sqrt{3}}\)
