Another Explanation (5): প্রথমে, বৃত্তের সমীকরণ দেওয়া হলো:
\[
x^2 + y^2 - 2x = 0
\]
এটি বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ:
\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]
আমরা দেখতে পাচ্ছি:
\[
x^2 - 2x + y^2 = 0
\]
প্রথমে, \(x^2 - 2x\) অংশটি সম্পূর্ণ করে নিই:
\[
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
\]
সুতরাং, মূল সমীকরণটি হয়:
\[
(x - 1)^2 - 1 + y^2 = 0
\]
অর্থাৎ,
\[
(x - 1)^2 + y^2 = 1
\]
এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ যার কেন্দ্র \((1,0)\) এবং রেডিয়াস \(r=1\)।
---
এখন, স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় করতে চাই যেখানে স্পর্শক বিন্দু হলো \((1, -1)\)।
চূড়ান্তভাবে, আমরা দেখতে চাই যে এই বিন্দুটি বৃত্তের উপর বা নয়।
বৃত্তের উপর বা না-হলে স্পর্শক হতে পারে না।
বৃত্তের সমীকরণে \(x=1\), \(y=-1\) বসিয়ে দেখি:
\[
(1 - 1)^2 + (-1)^2 = 0 + 1 = 1
\]
যা সত্য, অর্থাৎ, \((1, -1)\) এই বিন্দুটি বৃত্তের উপর।
---
স্পর্শকের সমীকরণ সাধারণত:
\[
\text{সমীকরণ} = y = mx + c
\]
অথবা, সরাসরি স্পর্শকের সমীকরণ বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ওই বিন্দুর দিকে অঙ্কন করে:
বৃত্তের কেন্দ্র \((1,0)\) এবং স্পর্শক বিন্দু \((1,-1)\) এর মধ্যে সরল লাইনটি হলো:
\[
x=1
\]
এবং, এই লাইনের সাথে বৃত্তের স্পর্শক অংকনের জন্য, স্পর্শক সরাসরি \(x=1\) রেখার সমান্তরাল হবে।
এখন, এই রেখা \((x=1)\) এর জন্য, বৃত্তের টানাপোড়েন (tangent) সমীকরণ হবে:
প্রথমে, বৃত্তের সমীকরণে \(x=1\) বসাই:
\[
(1 - 1)^2 + y^2 = 1
\]
\[
0 + y^2 = 1
\]
\[
y = \pm 1
\]
অর্থাৎ, স্পর্শক রেখা \(x=1\) এর জন্য, স্পর্শক বিন্দুগুলি \((1,1)\) এবং \((1,-1)\)।
আমরা স্পর্শক বিন্দু \((1,-1)\) এর জন্য স্পর্শকের সমীকরণ জানি \(x=1\) রেখা।
---
তাই, নির্দিষ্টভাবে, এই বিন্দুতে স্পর্শক সমীকরণ হলো:
\[
\boxed{ y + 1 = 0 }
\]
অর্থাৎ, **উত্তর: \(y + 1 = 0\)**।
