Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\sqrt[3]{x + iy} = p + iq\)
উত্তর: \(4(p^2 - q^2) = \frac{x}{p} + \frac{y}{q}\)
---
সমাধান:
ধরা যাক, \(z = p + iq\)। তাহলে,
\[
z^3 = x + iy
\]
অর্থাৎ,
\[
(p + iq)^3 = x + iy
\]
অতএব,
\[
(p + iq)^3 = p^3 + 3p^2 iq + 3p (iq)^2 + (iq)^3
\]
\[
= p^3 + 3p^2 iq + 3p (i^2 q^2) + i^3 q^3
\]
চিহ্নিত করো, যেখানে \(i^2 = -1\) ও \(i^3 = -i\):
\[
= p^3 + 3p^2 i q + 3p (-1) q^2 + (-i) q^3
\]
\[
= p^3 - 3p q^2 + i (3p^2 q - q^3)
\]
অর্থাৎ,
\[
x + iy = p^3 - 3p q^2 + i (3p^2 q - q^3)
\]
তাহলে,
\[
x = p^3 - 3p q^2
\]
\[
y = 3p^2 q - q^3
\]
---
প্রথমত, \(x\) ও \(y\) এর উপর ভিত্তি করে \(p\) ও \(q\) এর সমীকরণ থেকে সম্পর্ক বের করব। লক্ষ্য, \(4(p^2 - q^2)\) এর সাথে সম্পর্ক স্থাপন করা।
**ধাপ 1:** \(x\) ও \(y\) থেকে \(p\) ও \(q\) এর সম্পর্ক বের করা।
\[
x = p^3 - 3 p q^2
\]
অথবা,
\[
p^3 = x + 3 p q^2
\]
এবং,
\[
y = 3 p^2 q - q^3
\]
---
**ধাপ 2:** \(p^2 - q^2\) এর উপর মনোযোগ দিন।
\[
p^2 - q^2 = (p + q)(p - q)
\]
তবে, এই পদ্ধতিতে সরাসরি সমাধান কঠিন। পরিবর্তে, \(p\) ও \(q\) এর উপর ভিত্তি করে নির্ণয় করতে পারি \(p^2\) ও \(q^2\) এর সম্পর্ক।
**ধাপ 3:** \(p^2\) ও \(q^2\) এর উপর ভিত্তি করে সমীকরণ গঠন করুন।
---
**ধাপ 4:** \(x\) ও \(y\) এর উপর ভিত্তি করে \(p\) ও \(q\) এর অভিব্যক্তি লিখুন।
\[
p^3 - 3 p q^2 = x
\]
\[
3 p^2 q - q^3 = y
\]
উপরে, প্রথম সমীকরণ থেকে:
\[
x = p^3 - 3 p q^2
\]
এবং,
\[
y = 3 p^2 q - q^3
\]
---
**ধাপ 5:** \(p\) ও \(q\) এর সমীকরণের উপর ভিত্তি করে \(p^2\) ও \(q^2\) এর সম্পর্ক তৈরি করুন।
\[
p^2 = \frac{p^3}{p}
\]
\[
q^2 = \left(\frac{q^3}{q}\right)
\]
অথবা, এই পথে সরাসরি সমাধান কঠিন। বরং, এই সমীকরণ দিয়ে \(p\) ও \(q\) এর উপর ভিত্তি করে একটি সম্পর্ক গড়ে তোলা যেতে পারে।
---
**ধাপ 6:** \(p^2 - q^2\) এর জন্য নির্ণয় করুন:
\[
4(p^2 - q^2) = ?
\]
আমরা লক্ষ্য, এই সম্পর্ককে \(x\) ও \(y\) এর সাথে সম্পর্কিত করা।
---
**ধাপ 7:** মূল সূত্রে ফিরে আসা।
আমরা জানি:
\[
x = p^3 - 3 p q^2
\]
\[
y = 3 p^2 q - q^3
\]
আমরা \(p^2 - q^2\) এর জন্য একটি সূত্র পাব, যদি আমরা \(p\) ও \(q\) এর উপর ভিত্তি করে সমাধান করি।
---
**উপসংহার:**
অতএব, আমরা লক্ষ্য করি:
\[
4(p^2 - q^2) = \frac{x}{p} + \frac{y}{q}
\]
এই সম্পর্কটি প্রমাণের জন্য, উপরের সমীকরণ থেকে \(p\) ও \(q\) এর উপর ভিত্তি করে গুণফল ও ভাগফল ব্যবহার করতে হবে।
---
**প্রমাণ:**
\[
x = p^3 - 3 p q^2
\Rightarrow \frac{x}{p} = p^2 - 3 q^2
\]
\[
y = 3 p^2 q - q^3
\Rightarrow \frac{y}{q} = 3 p^2 - q^2
\]
অতএব,
\[
\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = (p^2 - 3 q^2) + (3 p^2 - q^2) = p^2 + 3 p^2 - 3 q^2 - q^2 = 4 p^2 - 4 q^2
\]
অর্থাৎ,
\[
\boxed{
\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 4 (p^2 - q^2)
}
\]
---
**সুতরাং,**
\[
\boxed{
4(p^2 - q^2) = \frac{x}{p} + \frac{y}{q}
}
\]
