(1-ω³)(1-ω⁸)(1-ω¹⁰)(1-ω¹⁴) এর মান কত?

প্রথমে, \( \omega \) কে একটি মূলধন সরল রেখার মধ্যে ৮-তম মূল (৮th root of unity) ধরা হয়। অর্থাৎ, \( \omega \) হলো একটি ৮-তম মূলধনের একটি চতুর্থাংশ।

অর্থাৎ, \( \omega \) satisfy করে:

\[ \omega^{8} = 1 \]

এখন, প্রশ্নে দেওয়া মূলগুলো হলো:

\[ (1 - \omega^{3})(1 - \omega^{8})(1 - \omega^{10})(1 - \omega^{14}) \]

আমরা এই সমষ্টিগুলোর মান নির্ণয় করব।

ধাপ 1: মূলধনের মৌলিক গুণাবলি

৮-তম মূলধনের মূলসমূহ হলো:

\[ 1, \omega, \omega^{2}, \omega^{3}, \omega^{4}, \omega^{5}, \omega^{6}, \omega^{7} \]

এবং, আমরা জানি যে:

\[ \omega^{8} = 1 \]

ধাপ 2: মূলগুলোকে রূপান্তর করা

প্রতিটি মূলের জন্য, আমরা দেখব:

\[ \omega^{3} \quad \text{(অবশ্যই 8-এর মৌলিক মূলের মধ্যে)}, \\ \omega^{8} = 1, \\ \omega^{10} = \omega^{10 \bmod 8} = \omega^{2}, \\ \omega^{14} = \omega^{14 \bmod 8} = \omega^{6} \]

ধাপ 3: মূলগুলো পুনর্বিন্যাস ও মান নির্ণয়

অতএব, সমীক্যটি এখন হয়:

\[ (1 - \omega^{3})(1 - 1)(1 - \omega^{2})(1 - \omega^{6}) \]

দেখা যাচ্ছে, একটি অংশ হলো:

\[ (1 - 1) = 0 \]

ধাপ 4: ফলাফল

যেহেতু এক অংশের মান হলো 0, সুতরাং সমগ্র গুণফলও হবে 0।

অতএব, উত্তর হলো:

0