(y - 1)² = 8(x + 2) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক কত?

প্রশ্ন:

\( (y - 1)^2 = 8(x + 2) \) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক কত?

সমাধান:

দেওয়া সমীকরণঃ

\[ (y - 1)^2 = 8(x + 2) \]

এটি একটি উলম্ব পরাবৃত্ত (parabola) এর সমীকরণ, যেখানে:

• অক্ষের দিক: উলম্ব (vertical axis)
• শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক: \( (h, k) \)

সাধারণ পরাবৃত্তের সমীকরণ, যেখানে শীর্ষবিন্দু \( (h, k) \), হলো:

\[ (y - k)^2 = 4a(x - h) \]

তাহলে, আমাদের সমীকরণ তুলনা করলে:

• \( y - 1 \) এর মানে হল \( y - k \), অর্থাৎ \( k = 1 \)
• বাদে, \( 8(x + 2) \) এর মানে হল \( 4a(x - h) \)

অর্থাৎ:

\[ 4a(x - h) = 8(x + 2) \]

অর্থাৎ:

\[ 4a(x - h) = 8x + 16 \]

অতএব, সমীকরণ সম্পাদন করলে:

\[ 4a x - 4a h = 8x + 16 \]

তুলনা করে দেখি, যেখানে \( x \) এর সহগামী সমাধান:

\[ 4a x = 8x + 4a h + 16 \]

এখানে, \( x \) এর জন্য সমানুপাতিক অংশগুলো তুলনা করলে, আমাদের কাছে পাওয়া যায়:

• \( 4a = 8 \Rightarrow a = 2 \)

এবং, এই মান দিয়ে, আমাদের শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে:

• \( h = -2 \) (কারণ \( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \))
• \( k = 1 \)

অতএব, শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক হলো:

(-2, 1)