|(x+y,x,y),(x,x+z,z),(y,z,y+z)| এর মান কোনটি?
Another Explanation (5):
সমাধান:
দেওয়া ম্যাট্রিক্সটি হলো:
\[
A = \begin{bmatrix}
x + y & x & y \\
x & x + z & z \\
y & z & y + z
\end{bmatrix}
\]
আমরা এই ৩x৩ ম্যাট্রিক্সটির ডিটারমিন্যান্ট মান নির্ণয় করব:
\[
|A| = \det \begin{bmatrix}
x + y & x & y \\
x & x + z & z \\
y & z & y + z
\end{bmatrix}
\]
প্রথমে, ডিটারমিন্যান্টের জন্য লোয়া অ্যাপ্লাই করব।
\[
|A| = (x + y) \det \begin{bmatrix} x + z & z \\ z & y + z \end{bmatrix}
- x \det \begin{bmatrix} x & z \\ y & y + z \end{bmatrix}
+ y \det \begin{bmatrix} x & x + z \\ y & z \end{bmatrix}
\]
এখন প্রতিটি ছোট ডিটারমিন্যান্ট গণনা করি:
১. \(\det \begin{bmatrix} x + z & z \\ z & y + z \end{bmatrix} = (x + z)(y + z) - z \times z = (x + z)(y + z) - z^2\)
২. \(\det \begin{bmatrix} x & z \\ y & y + z \end{bmatrix} = x(y + z) - y z = xy + xz - yz\)
৩. \(\det \begin{bmatrix} x & x + z \\ y & z \end{bmatrix} = x \times z - y(x + z) = xz - yx - yz = xz - yx - yz\)
এখন, এগুলি মূল ডিটারমিন্যান্টে বসাতে পারি:
\[
|A| = (x + y) [(x + z)(y + z) - z^2] - x (xy + xz - yz) + y (xz - yx - yz)
\]
বিভিন্ন অংশ সমাধান করি:
প্রথম অংশ:
\[
(x + y)(x + z)(y + z) - (x + y) z^2
\]
দ্বিতীয় অংশ:
\[
- x xy - x xz + x yz
\]
তৃতীয় অংশ:
\[
+ y xz - y yx - y yz
\]
এখন একত্র করি:
\[
|A| = (x + y)(x + z)(y + z) - (x + y) z^2 - x^2 y - x^2 z + x y z + y x z - y^2 x - y^2 z
\]
নোট করি:
- \((x + y)(x + z)(y + z)\) এর বিস্তার:
\[
= (x + y)(xy + xz + yz + z^2) \\
= x(xy + xz + yz + z^2) + y(xy + xz + yz + z^2) \\
= x^2 y + x^2 z + x y z + x z^2 + y x y + y x z + y^2 z + y z^2
\]
এখানে, \(y x y = x y^2\), তাহলে:
\[
= x^2 y + x^2 z + x y z + x z^2 + x y^2 + x y z + y^2 z + y z^2
\]
সংকলন:
\[
= x^2 y + x y^2 + x^2 z + x y z + x y z + y^2 z + x z^2 + y z^2
\]
অর্থাৎ:
\[
= x^2 y + x y^2 + x^2 z + 2 x y z + y^2 z + x z^2 + y z^2
\]
এখন, মূল ডিটারমিন্যান্ট:
\[
|A| = \left[ x^2 y + x y^2 + x^2 z + 2 x y z + y^2 z + x z^2 + y z^2 \right] - (x + y) z^2 - x^2 y - x^2 z + x y z + y x z - y^2 x - y^2 z
\]
বিস্তারিতভাবে সংকলন করি:
- \(x^2 y\) ও \(- x^2 y\) বাতিল
- \(x^2 z\) ও \(- x^2 z\) বাতিল
অবশিষ্ট:
\[
x y^2 + 2 x y z + y^2 z + x z^2 + y z^2 - (x + y) z^2 + x y z + y x z - y^2 x - y^2 z
\]
নোট করি:
\((x + y) z^2 = x z^2 + y z^2\)
বিস্তারিত:
\[
x y^2 + 2 x y z + y^2 z + x z^2 + y z^2 - x z^2 - y z^2 + x y z + y x z - y^2 x - y^2 z
\]
সরাসরি বাতিল:
- \(x z^2\) ও \(- x z^2\) বাতিল
- \(y z^2\) ও \(- y z^2\) বাতিল
অবশিষ্ট:
\[
x y^2 + 2 x y z + y^2 z + x y z + y x z - y^2 x - y^2 z
\]
জানাই যে, \(x y z\) ও \(y x z\) সমান, কারণ কম্পিউটার ভাষায় অর্ডার অপরিবর্তিত। সুতরাং, \(x y z + y x z = 2 x y z\).
এখন, যোগ করি:
\[
x y^2 + 2 x y z + y^2 z + 2 x y z - y^2 x - y^2 z
\]
বিস্তারিত:
\[
x y^2 - y^2 x + 2 x y z + 2 x y z + y^2 z - y^2 z
\]
নোট করি:
- \(x y^2 - y^2 x = 0\)
- \(y^2 z - y^2 z = 0\)
অতএব, অবশিষ্ট:
\[
4 x y z
\]
এবং মনে রাখি আমাদের মূল ডিটারমিন্যান্টের মান:
\[
|A| = 4 x y z
\]
অতএব, ধরা যাক \(x, y, z\) ধনাত্মক বা শূন্য নয়, তাহলে:
\[
|A| = \boxed{4 xyz}
\]
উত্তর:
\[
\boxed{4 xyz}
\]
