(cos27° - cos63°) / (cos27° + cos63°) =?

🤔 প্রশ্নটি হল: \( \frac{\cos 27^\circ - \cos 63^\circ}{\cos 27^\circ + \cos 63^\circ} = ? \)

আমরা ত্রিকোণমিতির যোগফল ও বিয়োগফলের সূত্র ব্যবহার করব:

\(\cos C - \cos D = -2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}\)

\(\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}\)

এখানে, \(C = 27^\circ\) এবং \(D = 63^\circ\)

সুতরাং, \( \cos 27^\circ - \cos 63^\circ = -2 \sin \frac{27^\circ + 63^\circ}{2} \sin \frac{27^\circ - 63^\circ}{2} \)

\(= -2 \sin \frac{90^\circ}{2} \sin \frac{-36^\circ}{2} \)

\(= -2 \sin 45^\circ \sin (-18^\circ) \)

\(= 2 \sin 45^\circ \sin 18^\circ \) (যেহেতু \( \sin(-x) = -\sin x \))

আবার, \( \cos 27^\circ + \cos 63^\circ = 2 \cos \frac{27^\circ + 63^\circ}{2} \cos \frac{27^\circ - 63^\circ}{2} \)

\(= 2 \cos \frac{90^\circ}{2} \cos \frac{-36^\circ}{2} \)

\(= 2 \cos 45^\circ \cos (-18^\circ) \)

\(= 2 \cos 45^\circ \cos 18^\circ \) (যেহেতু \( \cos(-x) = \cos x \))

অতএব, \( \frac{\cos 27^\circ - \cos 63^\circ}{\cos 27^\circ + \cos 63^\circ} = \frac{2 \sin 45^\circ \sin 18^\circ}{2 \cos 45^\circ \cos 18^\circ} \)

\(= \frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ} \cdot \frac{\sin 18^\circ}{\cos 18^\circ} \)

\(= \tan 45^\circ \cdot \tan 18^\circ \)

\(= 1 \cdot \tan 18^\circ \) (যেহেতু \( \tan 45^\circ = 1 \))

\(= \tan 18^\circ \)

🎉 সুতরাং, \( \frac{\cos 27^\circ - \cos 63^\circ}{\cos 27^\circ + \cos 63^\circ} = \tan 18^\circ \)