Another Explanation (5): ```html
প্রশ্ন: \(y^2 = 4x\) এবং \(y = x\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান:
প্রথমে, \(y^2 = 4x\) এবং \(y = x\) এর ছেদ বিন্দুগুলো বের করি।
\(y^2 = 4x\) সমীকরণে \(y = x\) বসালে পাই,
\(x^2 = 4x\)
\(x^2 - 4x = 0\)
\(x(x - 4) = 0\)
সুতরাং, \(x = 0\) অথবা \(x = 4\)।
যখন \(x = 0\), তখন \(y = 0\)।
যখন \(x = 4\), তখন \(y = 4\)।
সুতরাং ছেদ বিন্দুগুলো হলো \((0, 0)\) এবং \((4, 4)\)।
এখন, আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করি। যেহেতু \(y^2 = 4x\) থেকে \(x = \frac{y^2}{4}\) পাওয়া যায়, তাই \(y\) এর সাপেক্ষে ইন্টিগ্রেট করা সুবিধাজনক।
ক্ষেত্রফল, \(A = \int_{0}^{4} (y - \frac{y^2}{4}) dy\)
\(A = \left[ \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{12} \right]_{0}^{4}\)
\(A = \left( \frac{4^2}{2} - \frac{4^3}{12} \right) - \left( \frac{0^2}{2} - \frac{0^3}{12} \right)\)
\(A = \frac{16}{2} - \frac{64}{12}\)
\(A = 8 - \frac{16}{3}\)
\(A = \frac{24 - 16}{3}\)
\(A = \frac{8}{3}\) বর্গ একক। 🥳
সুতরাং, \(y^2 = 4x\) এবং \(y = x\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(\frac{8}{3}\) বর্গ একক। 🎉
উত্তর: \(\frac{8}{3}\) বর্গ একক।
```
