k এর কোন মানের জন্য 2x2-kx+1=0 - এর একটি মূল অপর মূলের বর্গের চারগুণের সমান হবে?

প্রশ্ন অনুযায়ী, দ্বি-প্রদত্ত সমীকরণ হল:

\( 2x^2 - kx + 1 = 0 \)

আমাদের জানানো হয়েছে যে, এর একটি মূল অপর মূলের বর্গের চারগুণের সমান। অর্থাৎ, যদি দুটি মূল হয় \( \alpha \) এবং \( \beta \), তবে:

\( \alpha \times \beta^2 = 4 \times \text{অপর মূলের বর্গ} \)

যেহেতু, মূল দুটি হল \( \alpha \) এবং \( \beta \), তাহলে মূলের সম্পর্ক অনুযায়ী:

• সাধারণ সূত্র অনুযায়ী, সমীকরণের মূলের যোগফল ও গুণফল:
• \( \alpha + \beta = \frac{k}{2} \)
• \( \alpha \beta = \frac{1}{2} \)

আমাদের প্রশ্নে বলা হয়েছে যে, একটি মূল অপর মূলের বর্গের চারগুণ। অর্থাৎ, ধরুন, \( \alpha \) একটি মূল, তাহলে:

\( \beta^2 = 4 \alpha^2 \)

এখন, মূলের সম্পর্ক থেকে, আমরা জানি যে:

• \( \alpha + \beta = \frac{k}{2} \)
• \( \alpha \beta = \frac{1}{2} \)

আমরা চাই \( \alpha \beta^2 \) এর মান, যা হবে:

\( \alpha \beta^2 = \alpha \times (4 \alpha^2) = 4 \alpha^3 \)

অথবা, যেহেতু \( \beta^2 = 4 \alpha^2 \), তাহলে:

\( \alpha \beta^2 = 4 \alpha^3 \)

এখন, \( \beta \) এর জন্য, \( \beta = \frac{k}{2} - \alpha \) (সমীকরণ থেকে), তবে এই পদ্ধতিতে সরাসরি সমাধান কঠিন।

অন্য উপায় হল, মূলের সম্পর্ক থেকে, মূলের বর্গের মান নির্ণয় করা।

প্রথমে, মূল \( \alpha \) এর জন্য, আমরা জানি:

\( \alpha + \beta = \frac{k}{2} \)

এবং, \( \beta = \frac{k}{2} - \alpha \)

এবং, মূলের গুণফল:

\( \alpha \beta = \frac{1}{2} \)

অর্থাৎ,

\( \alpha \left( \frac{k}{2} - \alpha \right) = \frac{1}{2} \)

এখানে,

\( \frac{k}{2} \alpha - \alpha^2 = \frac{1}{2} \)

এটি একটি কোয়াড্রাটিক সমীকরণ \( \alpha \) এর জন্য:

\( - \alpha^2 + \frac{k}{2} \alpha - \frac{1}{2} = 0 \)

অথবা, সাধারণ রূপে:

\( \alpha^2 - \frac{k}{2} \alpha + \frac{1}{2} = 0 \)

এখন, মূলের বর্গের মান নির্ণয় করি। মূল \( \alpha \) এর জন্য এই সমীকরণের ডিসক্রিমিন্যান্ট:

\( D = \left( \frac{k}{2} \right)^2 - 4 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{k^2}{4} - 2 \)

মূলের বর্গের মান হল, সমীকরণের মূলের মানের বর্গ। তবে, মূলের জন্য সমাধান পেতে হয়:

\( \alpha = \frac{\frac{k}{2} \pm \sqrt{D}}{2} \)

তবে, মূলের বর্গের মান নির্ণয় করতে, আমরা দেখি যে, মূলের বর্গের মানের জন্য, মূলের মানের উপর নির্ভর করে।

এখন, মূল \( \alpha \) এর জন্য, মূলের বর্গের মান নির্ণয় করতে চাইলে, আমাদের মূলের মানের উপর ভিত্তি করে, যেহেতু \( \beta^2 = 4 \alpha^2 \), তাহলে:

\( \alpha \beta^2 = 4 \alpha^3 \)

আমরা জানি যে, মূলের গুণফল \( \alpha \beta = \frac{1}{2} \), তাই:

\( \beta = \frac{1/2}{\alpha} = \frac{1}{2 \alpha} \)

এবং, \( \beta^2 = \frac{1}{4 \alpha^2} \)

এখন, মূলের অপর মূলের বর্গের চারগুণের সমান হবে:

\( \alpha \times \beta^2 = \alpha \times \frac{1}{4 \alpha^2} = \frac{1}{4 \alpha} \)

প্রশ্নে বলা হয়েছে, এই মানের সমান হবে।

তাহলে, সেটি হবে:

\( \frac{1}{4 \alpha} \)

এখানে, মূলের মানের জন্য, সমীকরণ থেকে, মূলের বর্গের মান নির্ণয় করতে হবে।

বা, সহজ উপায়ে, মূলের বর্গের মান নির্ণয় করতে, আমরা মূলের সমীকরণ থেকে পাই যে, মূলের বর্গের মান হল:

\( \alpha^2 = \left( \frac{k}{4} \right)^2 - \frac{1}{2} \)

এবং, মূলের জন্য, \( \alpha \) এর মান হল:

\( \alpha = \frac{\frac{k}{2} \pm \sqrt{D}}{2} \), যেখানে \( D = \frac{k^2}{4} - 2 \)

অতএব, মূলের বর্গের মান হল:

\( \alpha^2 = \left( \frac{k}{4} \pm \frac{\sqrt{D}}{2} \right)^2 \)

তবে, এই পদ্ধতিতে সরাসরি সমাধান জটিল।

অতএ??, সহজ সমাধানের জন্য, পর্যবেক্ষণ করি যে, মূলের জন্য একটি মান নির্ণয় করবো যেখানে সমীকরণটি সত্য হবে।

যেহেতু, মূলের গুণফল \( \frac{1}{2} \), এবং মূলের সম্পর্ক অনুযায়ী, মূলের বর্গের চারগুণের মান হবে:

\( 4 \times \alpha^2 \)

প্রশ্নে দেওয়া মান অনুযায়ী, সেটি হবে:

\( \alpha \beta^2 = 4 \alpha^2 \)

এখন, মূলের গুণফল \( \alpha \beta = \frac{1}{2} \), তাই:

\( \beta = \frac{1/2}{\alpha} \)

তাহলে, \( \beta^2 = \frac{1}{4 \alpha^2} \)

সুতরাং, এই মানের জন্য মূলের অপর মূলের বর্গের চারগুণ হবে:

\( 4 \alpha^2 \)

প্রশ্নে বলা হয় যে এটি সমান হবে। তাহলে, সেটি নির্ণয় করার জন্য, আমাদের মূলের মান নির্ণয় করতে হবে।

অবশেষে, যখন মূলের মান \( \alpha \) হয়, তখন:

মূলের বর্গের চারগুণের মান হবে:

\( 4 \alpha^2 \)

এবং, মূলের গুণফল থেকে, \( \alpha \) এর মান নির্ণয় করে, আমরা দেখতে পাই যে, মূলের মানের জন্য এই সমীকরণ সত্য হবে যখন \( k = 3 \)।

অতএব, উত্তর হল: 3