[(1,-2,3),(0,1,-2),(-1,0,2)] নির্ণায়কটির (1, 2) তম ভুক্তির সহগুণক কোনটি?

প্রথমে, প্রশ্ন অনুযায়ী, আমাদের একটি ৩x3 ম্যাট্রিক্স দেওয়া হয়েছে:

A = \begin{bmatrix}
1 & -2 & 3 \\
0 & 1 & -2 \\
-1 & 0 & 2
\end{bmatrix}

আমাদের কাজ হল নির্ণায়কটির (1, 2) তম ভুক্তির সহগুণক নির্ণয় করা।

নির্ণায়কটির সহগুণক নির্ণয় করতে, প্রথমে আমরা ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক (determinant) নির্ণয় করব। তারপর, নির্ণায়কটির (i, j) তম ভুক্তির সহগুণক বের করব।

ধাপে ধাপে সমাধান:

ধাপ ১: নির্ণায়ক নির্ণয় (det A)

det A = |A| = 
\begin{vmatrix}
1 & -2 & 3 \\
0 & 1 & -2 \\
-1 & 0 & 2
\end{vmatrix}

det A = 1 \times \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}
- (-2) \times \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}
+ 3 \times \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix}

= 1 \times (1 \times 2 - 0 \times (-2))
+ 2 \times (0 \times 2 - (-1) \times (-2))
+ 3 \times (0 \times 0 - (-1) \times 1)

= 1 \times (2 - 0)
+ 2 \times (0 - 2)
+ 3 \times (0 + 1)

= 1 \times 2 + 2 \times (-2) + 3 \times 1
= 2 - 4 + 3
= 1

অতএব, নির্ণায়ক = ১।

ধাপ ২: (1, 2) তম ভুক্তির সহগুণক নির্ণয়

সাধারণত, ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কটির (i, j) তম সহগুণক (cofactor) হয়:
C_{ij} = (-1)^{i + j} \times M_{ij}

C_{12} = (-1)^{1 + 2} \times M_{12} = (-1)^3 \times M_{12} = -1 \times M_{12}

M_{12} = Determinant of the 2x2 matrix formed by removing the 1st row ও 2nd কলাম:
\begin{bmatrix}
0 & -2 \\
-1 & 2
\end{bmatrix}

M_{12} = (0 \times 2) - (-2) \times (-1) = 0 - 2 = -2

অতএব,
C_{12} = -1 \times (-2) = 2