Another Explanation (5): প্রশ্নে দেওয়া ম্যাট্রিক্স \(A = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\)
প্রথমে, আমরা এই ম্যাট্রিক্সের ডিটারমিন্যান্ট (|A|) হিসাব করব।
\[
|A| = (1)(4) - (-3)(2) = 4 + 6 = 10
\]
অর্থাৎ, প্রথম বিবৃতি সঠিক:
|A| = 10
---
দ্বিতীয় বিবৃতি:
|A| এর (2,1) তম সহগুণক = 3
সহগুণক (cofactor) হিসাব করতে:
\[
C_{ij} = (-1)^{i+j} \times M_{ij}
\]
এখানে, \(M_{ij}\) হলো ম্যাট্রিক্সের সেই উপাদান বাদ দিয়ে অবশিষ্ট উপাদানগুলোর ডিটারমিন্যান্ট।
(2,1) উপাদানের সহগুণক:
\[
C_{21} = (-1)^{2+1} \times M_{21}
\]
\[
M_{21} = \begin{bmatrix} -3 & 4 \\ \end{bmatrix}
\]
অর্থাৎ, \(M_{21}\) হল উপাদানগুলি বাদ দিয়ে গঠিত 1x1 ম্যাট্রিক্স, যা:
\[
M_{21} = \begin{bmatrix} -3 \end{bmatrix}
\]
এবং এর ডিটারমিন্যান্ট:
\[
|M_{21}| = -3
\]
সুতরাং,
\[
C_{21} = (-1)^{3} \times (-3) = -1 \times -3 = 3
\]
অর্থাৎ, সহগুণক (cofactor) (2,1) তম উপাদান হলো 3।
দ্বিতীয় বিবৃতি সঠিক।
---
তৃতীয় বিবৃতি:
\[
A^{-1} = -\frac{1}{2} \times \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}
\]
সাধারনত, ইনভার্স ম্যাট্রিক্সের ফরমুলা:
\[
A^{-1} = \frac{1}{|A|} \times \text{adj}(A)
\]
অথবা,
\[
A^{-1} = \frac{1}{|A|} \times \text{cofactor matrix}^T
\]
উপরে, \(\text{adj}(A) = \text{cofactor matrix}^T\)
চলুন, কফেক্টার ম্যাট্রিক্স বের করি:
\[
\text{cofactor matrix} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} \\ C_{21} & C_{22} \end{bmatrix}
\]
প্রতিটি উপাদানের জন্য:
\[
C_{11} = (+1) \times |M_{11}|, \quad M_{11} = \begin{bmatrix} 4 \end{bmatrix} \Rightarrow |M_{11}|=4
\]
\[
C_{11} = 4
\]
\[
C_{12} = (-1)^{1+2} \times |M_{12}|, \quad M_{12} = \begin{bmatrix} 2 \end{bmatrix} \Rightarrow |M_{12}|=2
\]
\[
C_{12} = -1 \times 2 = -2
\]
\[
C_{21} = (-1)^{2+1} \times |M_{21}|, \quad M_{21} = \begin{bmatrix} -3 \end{bmatrix} \Rightarrow |M_{21}| = -3
\]
\[
C_{21} = -1 \times -3 = 3
\]
\[
C_{22} = (+1) \times |M_{22}|, \quad M_{22} = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} \Rightarrow |M_{22}|=1
\]
\[
C_{22} = 1
\]
অতএব, কফেক্টার ম্যাট্রিক্স:
\[
\text{cofactor matrix} = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}
\]
অ্যাজুকের জন্য,
\[
\text{adj}(A) = \text{cofactor matrix}^T = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}
\]
তাই,
\[
A^{-1} = \frac{1}{|A|} \times \text{adj}(A) = \frac{1}{10} \times \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}
\]
অর্থাৎ,
\[
A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{4}{10} & \frac{3}{10} \\ -\frac{2}{10} & \frac{1}{10} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.4 & 0.3 \\ -0.2 & 0.1 \end{bmatrix}
\]
তবে, প্রশ্নে দেওয়া:
\[
A^{-1} = -\frac{1}{2} \times \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & \frac{3}{2} \\ -1 & -2 \end{bmatrix}
\]
এটি আসলে ভুল, কারণ এর মান আসল ইনভার্সের সাথে মেলে না। সুতরাং, তৃতীয় বিবৃতি ভুল।
---
**উপসংহার:**
সঠিক বিবৃতি হলো:
**i এবং ii**।
অর্থাৎ, উত্তর: **"i & ii"**
---
**HTML আকারে সম্পূর্ণ সমাধান:**
```html
প্রথমে, আমাদের ম্যাট্রিক্সের ডিটারমিন্যান্ট হিসাব করি:
|A| = (1)(4) - (-3)(2) = 4 + 6 = 10
অতএব, প্রথম বিবৃতি সঠিক: |A| = 10
অন্যদিকে, সহগুণক গণনা করি:
C_{21} = (-1)^{2+1} × M_{21}
M_{21} = উপাদান বাদ দিয়ে অবশিষ্ট উপাদান, যা:
M_{21} = [-3]
|M_{21}|= -3
C_{21} = -1 × -3 = 3
অতএব, দ্বিতীয় বিবৃতি সঠিক।
তৃতীয় বিবৃতি যাচাই করি:
A^{-1} = (1/|A|) × adj(A)
প্রথম, কফেক্টার ম্যাট্রিক্স হিসাব করি:
C_{11} = +1 × |4| = 4
C_{12} = -1 × |2| = -2
C_{21} = -1 × |-3| = -1 × 3 = -3
C_{22} = +1 × |1|=1
কফেক্টার ম্যাট্রিক্স:
= [[4, -2], [-3, 1]]
adj(A) = transpose:
= [[4, -3], [-2, 1]]
অতএব,
A^{-1} = (1/10) × [[4, -3], [-2, 1]] = [[0.4, -0.3], [-0.2, 0.1]]
প্রদানকৃত: -1/2 × [ [4, -3], [2, 4] ] এর মান আলাদা, এবং আসল ইনভার্সের সাথে মেলে না। তাই, তৃতীয় বিবৃতি ভুল।
অতএব, সঠিক উত্তর হলো: i & ii
```
