Another Explanation (5): সমাধান:
প্রথমে, আমাদের জানা থাকা দরকার যে \(\omega\) হলো একটি ত্রৈমাসিক মূল (cube root of unity), যার গুণফল \(1\) এবং এর মূলগুলো হলো:
\[
1, \quad \omega, \quad \omega^2
\]
এবং এই মূলগুলো সম্পর্কিত একটি মৌলিক সমীকরণ হলো:
\[
\omega^3 = 1
\]
এবং
\[
1 + \omega + \omega^2 = 0
\]
এখন, প্রশ্নে দেওয়া মূলগুলো হলো:
1. 0
2. \(\omega^3\)
3. \(1 + \omega + \omega^2\)
আমাদের লক??ষ্য হলো এই তিনটির যোগফল নির্ণয় করা।
ধাপ 1: প্রথম দুটি মূলের যোগফল
\[
0 + \omega^3 = 0 + 1 = 1
\]
এখানে, কারণ \(\omega^3 = 1\)।
ধাপ 2: সব তিনটির যোগফল
\[
0 + \omega^3 + (1 + \omega + \omega^2) = 1 + (1 + \omega + \omega^2)
\]
প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই:
\[
= 1 + 1 + \omega + \omega^2 = 2 + \omega + \omega^2
\]
এখানে, আমরা জানি:
\[
1 + \omega + \omega^2 = 0
\]
অতএব,
\[
\omega + \omega^2 = -1
\]
সুতরাং, যোগফল:
\[
2 + \omega + \omega^2 = 2 - 1 = 1
\]
উপসংহার:
অতএব, তিনটির যোগফল হলো \(\boxed{1}\)।
**উত্তর:** "i ও iii" এর মধ্যে iii এর মান 1, যা সঠিক। তবে, iii এর মান 1, যা তিনটির যোগফলের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।
**সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো:**
```html
তিনটির যোগফল = 1
```
