যদি p এবং q এককের দুইটি কাল্পনিক ঘনমূল হয় তবে - 

1. q² = p
2. p² + q² + 1 = 0
3. p²q² = 1 

নিচের কোনটি সঠিক ? 

ধরি, \( p \) এবং \( q \) দুটি কাল্পনিক সংখ্যা, যাদের কাল্পনিক ঘনমূল হলো \( i \)। অর্থাৎ,

\( p = a + bi \), যেখানে \( a, b \in \mathbb{R} \) এবং একইভাবে, \( q = c + di \)।

প্রথম শর্তঃ \( q^2 = p \)

এখানে,

\( q^2 = (c + di)^2 = c^2 - d^2 + 2cdi \)

এটি \( p = a + bi \)-এর সমান। অর্থাৎ,

• \( a = c^2 - d^2 \)
• \( b = 2cd \)

দ্বিতীয় শর্তঃ \( p^2 + q^2 + 1 = 0 \)

অর্থাৎ,

\( p^2 + q^2 = -1 \)

এখানে,

\( p^2 = (a + bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi \)

এবং,

\( q^2 = c^2 - d^2 + 2cdi \)

সুতরাং,

\( p^2 + q^2 = (a^2 - b^2 + c^2 - d^2) + 2abi + 2cdi \)

এটি মানে, বাস্তব অংশ:

তৃতীয় শর্তঃ \( p^2 q^2 = 1 \)

এখানে,

\( p^2 q^2 = (a + bi)^2 \times (c + di)^2 \)

অথবা,

\( p^2 q^2 = (a^2 - b^2 + 2abi)(c^2 - d^2 + 2cdi) \)

এটি হিসাব করলে, বাস্তব অংশ:

সমাধান বিশ্লেষণ:

ধরা যাক, \( q^2 = p \)। তাহলে,

\( p = c^2 - d^2 + 2 c d i \)

অর্থাৎ, \( p \) এর বাস্তব অংশ \( c^2 - d^2 \) এবং কাল্পনিক অংশ \( 2 c d \)।

তাহলে, প্রথম শর্ত অনুযায়ী, \( p = q^2 \) এবং \( p^2 + q^2 + 1 = 0 \) থেকে দেখা যায়:

• প্রথম শর্তের জন্য, \( p = c^2 - d^2 + 2 c d i \)
• দ্বিতীয় শর্তের জন্য, বাস্তব অংশ: \( (a)^2 - (b)^2 + c^2 - d^2 = -1 \), যেখানে \( a, b \) হল \( p \) এর বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ।
• চতুর্থ শর্তে, \( p^2 q^2 = 1 \)। এই ফলাফল থেকে বোঝা যায়, \( p \) ও \( q \) এর মানগুলো এমন যে, তারা একে অপরের ঘনমূলের মতো, এবং তাদের মানগুলো এমন যে, এই সমীকরণগুলো সমাধান হয়।

উপসংহার:

প্রশ্নে দেওয়া তিনটি সমীকরণ এক সঙ্গে বিবেচনা করলে দেখা যায় যে, এই সমীকরণগুলো বাস্তবায়িত হতে পারে যদি এবং কেবল যদি,

তাদের মানগুলো এমন হয় যে, তারা একটি সাধারণ কাল্পনিক সংখ্যা \( i \) এর সমান বা সম্পর্কিত।

অতএব, উপরের বিশ্লেষণে দেখা যায় যে, সব তিনটি শর্তই সম্ভব, অর্থাৎ, i, ii ও iii সবই সঠিক।

উত্তর:

i, ii ও iii