3x - 4y + 4 = 0 এবং 6x - 8y - 7 = 0 সরলরেখাদ্বয় একই বৃত্তের স্পর্শক হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ—

সমাধান:

প্রথমে, দুটি সরলরেখার সমীকরণ দেওয়া হলো:

1) 3x - 4y + 4 = 0
2) 6x - 8y - 7 = 0

দুটি রেখার সমীকরণে একটি সাধারণ রূপে দেখলে, দেখা যায় যে:

2) কে 2 দিয়ে ভাগ করলে,
6x - 8y - 7 = 0
=> 3x - 4y - \(\frac{7}{2}\) = 0

অর্থাৎ, প্রথম রেখা:

3x - 4y + 4 = 0

এবং দ্বিতীয় রেখা:

3x - 4y - \(\frac{7}{2}\) = 0

দুটি রেখার সমীকরণের কাছাকাছি দেখা যায় যে, তারা সমান্তরাল।

এখন, ধরা যাক, বৃত্তের কেন্দ্র \((h, k)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r\)।

বৃত্তটি যদি এই দুই সরলরেখার স্পর্শক হয়, তবে, প্রতিটি রেখার থেকে বৃত্তের কেন্দ্রের দূরত্ব সমান এবং এই দূরত্বই হবে বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

প্রতিটি রেখার থেকে বৃত্তের কেন্দ্রের দূরত্ব \(\text{d}\) হবে:

\[
\text{d} = \frac{|A h + B k + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]

প্রথম রেখার জন্য, \(A=3, B=-4, C=4\)

দ্বিতীয় রেখার জন্য, \(A=3, B=-4, C=-\frac{7}{2}\)

যেহেতু কেন্দ্র থেকে এই দুই রেখার দূরত্ব সমান, তাহলে:

\[
\frac{|3h - 4k + 4|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3h - 4k - \frac{7}{2}|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}
\]

সাধারণত \(\sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

অতএব, সমীকরণ হবে:

\[
|3h - 4k + 4| = |3h - 4k - \frac{7}{2}|
\]

দুটি সমান হলে, বা একে অপরের ঋণাত্মক হলে, তার মানে:

\[
3h - 4k + 4 = \pm (3h - 4k - \frac{7}{2})
\]

প্রথমে, ধরা যাক, যোগফলটি:

\[
3h - 4k + 4 = 3h - 4k - \frac{7}{2}
\]
এটি সমাধান করলে:

\[
4 = - \frac{7}{2}
\]
যা সত্য নয়, তাই এটি গ্রহণযোগ্য নয়।
অতএব, দ্বিতীয়টি বিবেচনা করি:
\[
3h - 4k + 4 = - (3h - 4k - \frac{7}{2})
\]
=> 3h - 4k + 4 = -3h + 4k + \frac{7}{2}

এখন, সমাধান করি:
3h + 3h = 4k + 4k + \frac{7}{2} - 4
6h = 8k + \left(\frac{7}{2} - 4\right)

এখানে, \(\frac{7}{2} - 4 = \frac{7}{2} - \frac{8}{2} = -\frac{1}{2}\)
অতএব:
6h = 8k - \frac{1}{2}
=> 12h = 16k - 1
=> 12h + 1 = 16k
=> 16k = 12h + 1

এখন, কেন্দ্রের পয়েন্ট \((h, k)\) এর জন্য এই সমীকরণ গুরুত্বপূর্ণ। তবে, বৃত্তের স্পর্শক রেখাগুলোর দূরত্বের সূত্র অনুযায়ী, এই দূরত্ব \(r\) হবে:
\[
r = \frac{|3h - 4k + 4|}{5}
\]

এখানে, আমরা জানি যে, এই দূরত্বটি একই ছিল দুই রেখার জন্য। এখন, এই দূরত্বের মান নির্ণয় করি। প্রথমে, \(3h - 4k + 4\) এর মান নির্ণয় করি।
এখানে, \(12h + 1 = 16k \Rightarrow 16k = 12h + 1\)
অতএব, \(k = \frac{12h + 1}{16}\)
এখন, \(3h - 4k + 4\) এর মান হবে:
\[
3h - 4 \times \frac{12h + 1}{16} + 4
\]
=> \(3h - \frac{4 \times (12h + 1)}{16} + 4\)
=> \(3h - \frac{48h + 4}{16} + 4\)
=> \(\frac{48h}{16} - \frac{48h + 4}{16} + 4\)
=> \(\frac{48h - 48h - 4}{16} + 4\)
=> \(- \frac{4}{16} + 4\)
=> \(- \frac{1}{4} + 4\)
=> \(\frac{-1 + 16}{4} = \frac{15}{4}\)

অতএব, দূরত্ব \(r\) হবে:
\[
r = \frac{|\frac{15}{4}|}{5} = \frac{\frac{15}{4}}{5} = \frac{15}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}
\]

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r = \frac{3}{4}\)। কিন্তু, এটি খুব ছোট মান বলে মনে হচ্ছে, কারণ আমাদের গণনাগুলো নির্ভুলভাবে যাচাই করতে হবে।
প্রকৃতপক্ষে, এই ধরনের সমস্যা সমাধানে, যদি সরলরেখাগুলি একই বৃত্তের টাচক হয়, তাহলে তাদের দূরত্ব (দূরত্বের মান) ব্যাসার্ধের সমান হবে।
এখানে, দুই রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব হলো:
\[
d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]

যেখানে, \(C_1=4\), \(C_2= - \frac{7}{2}\), \(A=3\), \(B=-4\)
অতএব, দূরত্ব:
\[
d = \frac{|4 - (-\frac{7}{2})|}{5} = \frac{|4 + \frac{7}{2}|}{5}
\]
=> \(\frac{|\frac{8}{2} + \frac{7}{2}|}{5} = \frac{\frac{15}{2}}{5} = \frac{15}{2} \times \frac{1}{5} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}\)

এখানে, দূরত্ব \(d = \frac{3}{2}\), যা বৃত্তের ব্যাসার্ধের মান।
অর্থাৎ, বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r = \frac{3}{2}\)
কিন্তু, এই মানটি স্পর্শক রেখার জন্য যথাযথ নয়।
তাই, শেষ সমাধান হিসেবে, দূরত্ব মানটি \(d= \frac{3}{2}\), এবং ব্যাসার্ধ হলো:
\[
r = d = \frac{3}{2}
\]

সুতরাং, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ হলো \(\boxed{\frac{3}{2}}\)