y²=2x³ বক্ররেখার কোন বিন্দুতে স্পর্শকটি 4x-3y+1=0  সরলরেখার সাথে লম্ব হবে ? 

প্রশ্ন: \(y^2=2x^3\) বক্ররেখার কোন বিন্দুতে স্পর্শকটি \(4x-3y+1=0\) সরলরেখার সাথে লম্ব হবে ?

ধরি, \( (x_1, y_1) \) বিন্দুতে স্পর্শক \( 4x-3y+1=0 \) সরলরেখার সাথে লম্ব।

\( y^2 = 2x^3 \)

উভয়পক্ষে \( x \) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

\( 2y \frac{dy}{dx} = 6x^2 \)

\(\implies \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{y} \)

\( (x_1, y_1) \) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল, \( m_1 = \frac{3x_1^2}{y_1} \)

\( 4x - 3y + 1 = 0 \) সরলরেখার ঢাল, \( m_2 = \frac{4}{3} \)

যেহেতু স্পর্শকটি লম্ব, তাই \( m_1 \cdot m_2 = -1 \)

\(\implies \frac{3x_1^2}{y_1} \cdot \frac{4}{3} = -1 \)

\(\implies \frac{4x_1^2}{y_1} = -1 \)

\(\implies y_1 = -4x_1^2 \) --- (1)

যেহেতু \( (x_1, y_1) \) বিন্দুটি \( y^2 = 2x^3 \) বক্ররেখার উপর অবস্থিত, তাই

\( y_1^2 = 2x_1^3 \) --- (2)

(1) নং সমীকরণ থেকে \( y_1 \) এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

\( (-4x_1^2)^2 = 2x_1^3 \)

\(\implies 16x_1^4 = 2x_1^3 \)

\(\implies 8x_1^4 = x_1^3 \)

\(\implies 8x_1^4 - x_1^3 = 0 \)

\(\implies x_1^3(8x_1 - 1) = 0 \)

\(\implies x_1 = 0 \) অথবা \( x_1 = \frac{1}{8} \)

যদি \( x_1 = 0 \) হয়, তবে \( y_1 = -4(0)^2 = 0 \)

কিন্তু \( (0, 0) \) বিন্দুতে \( \frac{dy}{dx} \) এর মান অসংজ্ঞায়িত। সুতরাং, \( x_1 = 0 \) গ্রহণযোগ্য নয়।

যদি \( x_1 = \frac{1}{8} \) হয়, তবে \( y_1 = -4(\frac{1}{8})^2 = -4 \cdot \frac{1}{64} = -\frac{1}{16} \)

সুতরাং, নির্ণেয় বিন্দুটি হলো \( (\frac{1}{8}, -\frac{1}{16}) \)। 🎉

উত্তর: \( (\frac{1}{8}, -\frac{1}{16}) \) 🥳