y = x^x হলে dy/dx=?

Explanation: Hints: ফাংশনের উভয় পাশে ln নিতে হবে। Solve: \(y = x^x \implies \ln y = \ln x^x = x \ln x\) অন্তরীকরণ করে, \(\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + \ln x\) \(\implies \frac{dy}{dx} = y(1+\ln x) = x^x (1+\ln x)\) Ans. (D) ব্যাখ্যা: প্রথমে উভয়পাশে ln নিয়ে \(\ln x^x\) কে \(x \ln x\) আকারে প্রকাশ করে এরপর x-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করা হয়েছে। মনে রাখবে, চলক যখন ঘাত আকারে থাকে তখন সমীকরণের উভয়পাশে ln নিয়ে করলে সহজেই অন্তরীকরণ করা সম্ভব হয়।

Another Explanation (5): ```html

y = x^x হলে dy/dx নির্ণয়:

ধরি, \(y = x^x\) উভয়পক্ষে স্বাভাবিক লগারিদম নিয়ে পাই, \(ln(y) = ln(x^x)\) \(ln(y) = x \cdot ln(x)\) এখন, x এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করে পাই, \(\frac{d}{dx} [ln(y)] = \frac{d}{dx} [x \cdot ln(x)]\) আমরা জানি, \(\frac{d}{dx}ln(x) = \frac{1}{x}\), তাই \(\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{d}{dx} [ln(x)] + ln(x) \cdot \frac{d}{dx} [x]\) [এখানে গুণের সূত্র ব্যবহার করা হয়েছে] \(\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{1}{x} + ln(x) \cdot 1\) \(\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 1 + ln(x)\) অতএব, \(\frac{dy}{dx} = y \cdot [1 + ln(x)]\) যেহেতু \(y = x^x\), তাই \(\frac{dy}{dx} = x^x \cdot [1 + ln(x)]\) সুতরাং, \(\frac{dy}{dx} = (1 + ln(x))x^x\) 🎉🎉 ```