1.  tanA=1/2,tanB=1/3 হলে,  A+B=pi/4 
2.  tan(2tan^-1sqrt((1-cosx)/(1+coax)))-tanx=0
3.  sec^1x+cos^-1(1/x)=pi/2 

প্রদান: \(\tan A = \frac{1}{2}\), \(\tan B = \frac{1}{3}\), এবং আমাদের দেখাতে হবে \(A + B = \frac{\pi}{4}\)।

সমাধান:

আমরা জানি, \(\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}\)

সুতরাং,

এখানে, \(\tan(A + B) = 1\), তাই, \(A + B = \frac{\pi}{4}\).

অতএব, উত্তর: i

প্রদত্ত সমীকরণ: \(\tan \left( 2 \tan^{-1} \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} \right) - \tan x = 0\)

সমাধান:

প্রথমে, \(\sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}\) এর মান নির্ণয় করি।

আমরা জানি, \(\tan \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}\)

অতএব,

সুতরাং, সমীকরণটি হয়:

এখানে, \(\tan^{-1} (\tan \frac{x}{2}) = \frac{x}{2}\) যদি \(\frac{x}{2}\) মূল সীমার মধ্যে হয়।

তাহলে, সমীকরণটি হয়:

অর্থাৎ, সমীকরণ সব মানের জন্য সত্য, যেখানে \(\frac{x}{2}\) মূল সীমার মধ্যে।

অতএব, উত্তর: ii

প্রদত্ত: \(\sec^{-1} x + \cos^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}\)

সমাধান:

\(\sec^{-1} x\) মানে, এমন এক কোণ \(\theta\), যেখানে \(\sec \theta = x\), এবং \(\theta \in [0, \pi] \setminus \{\frac{\pi}{2}\}\)।

এবং, \(\cos^{-1} \frac{1}{x}\) মানে, এমন এক কোণ \(\phi\), যেখানে \(\cos \phi = \frac{1}{x}\), এবং \(\phi \in [0, \pi]\)।

আমরা জানি, \(\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}\), তাই \(\sec \theta = x \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{x}\).

এটা মানে, \(\cos \theta = \frac{1}{x}\) এবং \(\cos \phi = \frac{1}{x}\), সেই জন্য \(\theta = \phi\) বা \(\theta = 2\pi - \phi\), কিন্তু মূল সীমার মধ্যে, আমরা সাধারণত \(\theta = \phi\) ধরি।

অতএব, \(\sec^{-1} x + \cos^{-1} \frac{1}{x} = \theta + \theta = 2 \theta\)

এবং, \(\cos \theta = \frac{1}{x}\) থেকে, \(\theta = \cos^{-1} \frac{1}{x}\)

অতএব,

প্রশ্ন অনুযায়ী, এটি \(\frac{\pi}{2}\) সমান, তাই:

এখন, \(\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), তাই:

অতএব, মান: \(x = \sqrt{2}\)।

উপসংহার: সমীকরণ সত্য, অর্থাৎ, এটি সব মানের জন্য সত্য নয়, শুধুমাত্র \(x = \sqrt{2}\) এর জন্য। তবে প্রশ্নে চাওয়া হয়েছে, এই সমীকরণের জন্য কি সত্য, বলে দেখানো হয়েছে।

অতএব, এই সমীকরণের সমাধান সত্য, তাই উত্তর: i ও ii