y = 0, y = x এবং x² + y² = 4 বৃত্ত দ্বারা প্রথম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

প্রশ্ন:

y = 0, y = x এবং x² + y² = 4 বৃত্ত দ্বারা প্রথম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:

প্রথমে, প্রদত্ত সমীকরণগুলো লিখি:

1. y = 0 (x-অক্ষ)
2. y = x (একটি সরলরেখা)
3. x² + y² = 4 (একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র (0,0) এবং ব্যাসার্ধ 2)

আমাদের প্রথম চতুর্ভাগে (x ≥ 0, y ≥ 0) এই তিনটি রেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে। 🧐

বৃত্তের সমীকরণ থেকে, x² + y² = 4, আমরা বুঝতে পারি যে এটি একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র মূল বিন্দুতে এবং ব্যাসার্ধ 2। 🤔

যেহেতু আমরা প্রথম চতুর্ভাগের ক্ষেত্রফল বিবেচনা করছি, তাই y = x রেখাটি বৃত্তকে যে বিন্দুতে ছেদ করে, সেটি বের করতে হবে। 🤓

y = x বৃত্তের সমীকরণে বসালে পাই,

x² + x² = 4

2x² = 4

x² = 2

x = √2 (যেহেতু আমরা প্রথম চতুর্ভাগে আছি, x > 0)

সুতরাং, ছেদ বিন্দুটি হলো (√2, √2)। 🤩

এখন, আমাদের নির্ণেয় ক্ষেত্রফল হলো বৃত্তের ক্ষেত্রফলের একটি অংশ, যা y = 0 এবং y = x দ্বারা সীমাবদ্ধ। 🥰

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = π(2)² = 4π

যেহেতু আমরা প্রথম চতুর্ভাগের কথা বলছি, তাই কোণ θ হবে y = x রেখার জন্য 45° বা π/4 রেডিয়ান। 😎

সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = (π/4) / (2π) * (4π) = π/2।

অতএব, y = 0, y = x এবং x² + y² = 4 বৃত্ত দ্বারা প্রথম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল π/2 বর্গ একক। 🎉

উত্তর:

\(\frac{\pi}{2}\)