int_1^(sqrt3)dx/(1+x^2)= কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \(\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{1 + x^2}\)

উত্তর: \(\frac{\pi}{12}\)

সমাধান:

আমরা জানি যে,

\[ \int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan x + C \] অর্থাৎ, নির্দিষ্ট সীমার জন্য, \[ \int_{a}^{b} \frac{dx}{1 + x^2} = \arctan b - \arctan a \] এখন, আমাদের সীমা অনুযায়ী, \[ a = 1,\quad b = \sqrt{3} \] অতএব, \[ \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{1 + x^2} = \arctan (\sqrt{3}) - \arctan (1) \] উল্লেখ্য, \[ \arctan 1 = \frac{\pi}{4} \] এবং, \[ \arctan (\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \] অতএব, \[ \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{1 + x^2} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - 3\pi}{12} = \frac{\pi}{12} \] সুতরাং, উত্তর হলো: \[ \boxed{\frac{\pi}{12}} \]