Another Explanation (5): প্রথমে দেওয়া শর্ত অনুযায়ী, ত্রিভুজ ABC এর জন্য:
\[
\cos A + \cos C = \sin B
\]
প্রথমে ত্রিভুজের কোণের মানের সম্পর্ক মনে রাখি:
\[
A + B + C = \pi
\]
অর্থাৎ,
\[
B = \pi - (A + C)
\]
এবং,
\[
\sin B = \sin (\pi - (A + C)) = \sin (A + C)
\]
অতএব, মূল সমীকরণটি হয়:
\[
\cos A + \cos C = \sin (A + C)
\]
এখন, আমরা \(\sin (A + C)\) এর সত্তা ব্যবহার করব:
\[
\sin (A + C) = \sin A \cos C + \cos A \sin C
\]
অতএব, সমীকরণটি হয়:
\[
\cos A + \cos C = \sin A \cos C + \cos A \sin C
\]
এখন, সমীকরণটি পুনর্বিন্যাস করি:
\[
\cos A + \cos C = \sin A \cos C + \cos A \sin C
\]
উভয় পাশে থেকে \(\cos A \) এবং \(\cos C\) কে পৃথক করি:
\[
\cos A - \sin A \cos C = \cos A \sin C - \cos C
\]
এখানে, আমরা দুটি দুটি ভাগে ভাগ করতে পারি:
দুই পাশের সমীকরণকে আবার লিখি:
\[
\cos A - \sin A \cos C = \cos A \sin C - \cos C
\]
অথবা,
\[
\cos A - \sin A \cos C = \sin C \cos A - \cos C
\]
এখন, সমীকরণের দুটো পাশের কিছু অংশ একে অপরের সমান করতে পারি:
\[
\cos A - \sin A \cos C = \sin C \cos A - \cos C
\]
এখন, সমীকরণের বাম ও ডান পাশের সমতুল্য অংশগুলি একত্র করি:
\[
\cos A - \sin A \cos C + \cos C = \sin C \cos A
\]
বা,
\[
(\cos A + \cos C) - \sin A \cos C = \sin C \cos A
\]
এখানে, \(\cos A + \cos C\) আবার মূল সমীকরণের অংশ। তবে, আরও সরলীকরণ করতে, আমরা \(\cos A\) ও \(\cos C\) এর জন্য একটি সম্পর্ক খুঁজে বের করব:
একটি উপায় হলো, সমীকরণে \(\cos A\) ও \(\cos C\) এর জন্য আলাদা করে দেখব:
\[
\cos A + \cos C = \sin (A + C)
\]
এবং,
\[
\sin (A + C) = \sin A \cos C + \cos A \sin C
\]
অর্থাৎ,
\[
\cos A + \cos C = \sin A \cos C + \cos A \sin C
\]
এখন, এ সমীকরণের মাধ্যমে \(\angle C\) এর মান নির্ণয় করি। ধরুন, \(\angle C = \frac{\pi}{2}\) (অর্থাৎ 90°):
\[
\cos C = 0
\]
অতএব, সমীকরণে substitution করি:
\[
\cos A + 0 = \sin A \cdot 0 + \cos A \sin C
\]
অর্থাৎ,
\[
\cos A = \cos A \sin C
\]
অথবা, যদি \(\cos A \neq 0\), তাহলে:
\[
1 = \sin C
\]
এখানে, \(\sin C = 1\) মানে:
\[
C = \frac{\pi}{2}
\]
অর্থাৎ, \(\angle C = \frac{\pi}{2}\) বা 90°।
অথবা, যদি \(\cos A = 0\), তাহলে:
\[
A = \frac{\pi}{2}
\]
তবে, এই পরিস্থিতিতে, ত্রিভুজের অন্য কোণের মান অনুসারে সঠিক সমাধান হবে \(\angle C = \frac{\pi}{2}\)।
অতএব,
\[
\boxed{
\angle C = \frac{\pi}{2}
}
\]
এবং, এর মানে \(\angle C\) এর মান 90° বা \(\frac{\pi}{2}\) রেডিয়ান।
