যদি n এর মান জোড় হয় তবে cosθ + cos(π + θ) + cos(2π + θ) + ........ + cos(nπ + θ) =?

🤔 প্রশ্ন: যদি n এর মান জোড় হয় তবে cosθ + cos(π + θ) + cos(2π + θ) + ........ + cos(nπ + θ) =?

🧐 সমাধান:

আমরা জানি, cos(π + θ) = -cosθ

cos(2π + θ) = cosθ

cos(3π + θ) = -cosθ

cos(4π + θ) = cosθ

এইভাবে চলতে থাকলে দেখা যায় যে cos(kπ + θ) এর মান cosθ অথবা -cosθ হবে।

সুতরাং, প্রদত্ত ধারাটি হল:

cosθ + cos(π + θ) + cos(2π + θ) + ........ + cos(nπ + θ)

= cosθ - cosθ + cosθ - cosθ + ...... (n+1) সংখ্যক পদ ➕➖

যেহেতু n জোড়, তাই (n+1) একটি বিজোড় সংখ্যা। odd number

সুতরাং, ধারাটিতে বিজোড় সংখ্যক পদ থাকবে। পদগুলোকে দুইটি করে grouping করলে দেখা যায় যে:

(cosθ - cosθ) + (cosθ - cosθ) + ... + cos(nπ + θ)

যেহেতু n জোড়, তাই nπ একটি জোড় সংখ্যা। সুতরাং cos(nπ + θ) = cosθ হবে।

প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল ০ হবে। 😌

অতএব, cosθ + cos(π + θ) + cos(2π + θ) + ........ + cos(nπ + θ) = cosθ

✅ উত্তর: cos θ