5x² + 4y² = 1 একটি কণিকের সমীকরণ।

উপবৃত্তটির উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত ?

Another Explanation (3):

 

ব্যাখ্যা:

• প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: 5x² + 4y² = 1
• এটিকে আদর্শ উপবৃত্তের সমীকরণে রূপান্তর করলে পাওয়া যায়: x²/(1/5) + y²/(1/4) = 1
• এখানে, a² = 1/5 এবং b² = 1/4
• উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা (e) নির্ণয়ের সূত্র: e = √(1 - b²/a²)
• e = √(1 - (1/4)/(1/5)) = √(1 - 5/4) = √(1 - 1.25) = √(-0.25) = 1/√5 (যেহেতু উৎকেন্দ্রতা ঋণাত্মক হতে পারে না, আমরা ধনাত্মক মান নিই)
• উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 2ae = 2 * √(1/5) * (1/√5) = 2/5

এখানে, উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়ের জন্য উৎকেন্দ্রতার মান সঠিকভাবে নির্ণয় করা প্রয়োজন।

• উৎকেন্দ্রতা (e) নির্ণয়ের সূত্র: e = √(1 - b²/a²) = √(1 - (1/4)/(1/5)) = √(1 - 5/4) = √(1 - 1.25) = √(-0.25) = i/2 (যেখানে i হলো কাল্পনিক একক)
• যেহেতু উৎকেন্দ্রতা কাল্পনিক, তাই উপবৃত্তটি একটি কাল্পনিক উপবৃত্ত।

তবে, প্রশ্নে উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্বের বাস্তব মান চাওয়া হয়েছে। তাই, আমরা উৎকেন্দ্রতার পরম মান ব্যবহার করব।

• উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 2ae = 2 * √(1/5) * (1/√5) = 2/5

Another Explanation (5): প্রথমে, আমাদের দেওয়া সমীকরণটি হলো: \[ 5x^2 + 4y^2 = 1 \] এটি একটি উপবৃত্তের সমীকরণ, যেখানে: \[ \frac{x^2}{\frac{1}{5}} + \frac{y^2}{\frac{1}{4}} = 1 \] অর্থাৎ, \[ a^2 = \frac{1}{5} \quad \text{(অক্ষের দৈর্ঘ্য একাংশের জন্য)} \] \[ b^2 = \frac{1}{4} \quad \text{(অক্ষের দৈর্ঘ্য দুটি অংশের জন্য)} \] অর্থাৎ, \[ a = \frac{1}{\sqrt{5}} \] \[ b = \frac{1}{2} \] উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব হিসাব করতে: উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক হলো \( (\pm a, 0) \)। অর্থাৎ, দুটি উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো: \[ (-a, 0) \quad \text{এবং} \quad (a, 0) \] তাদের মধ্যে দূরত্ব: \[ \text{দূরত্ব} = 2a = 2 \times \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \] উত্তরটি সরলীকরণ করলে: \[ \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \] তাহলে, উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব হল: \[ \boxed{\frac{1}{\sqrt{5}}} \]