কোন শর্তে x + y = 1 রেখা x²+y²-2ax=0 বৃত্তকে স্পর্শ করবে?

সমাধান:

প্রদানকৃত রেখা: \(x + y = 1\)

বৃত্তের সমীকরণ: \(x^2 + y^2 - 2ax = 0\)

ধাপ ১: রেখা থেকে y প্রকাশ করা:

\(y = 1 - x\)

ধাপ ২: বৃত্তের সমীকরণে রেখার সমীকরণ বসানো:

\(x^2 + (1 - x)^2 - 2ax = 0\)

\(x^2 + (1 - 2x + x^2) - 2ax = 0\)

\(x^2 + 1 - 2x + x^2 - 2ax = 0\)

\(2x^2 - 2x - 2ax + 1 = 0\)

ধাপ ৩: সমীকরণটি সমাধানযোগ্য করতে সাধারণ রূপে লিখা:

\(2x^2 + (-2 - 2a)x + 1 = 0\)

ধাপ ৪: এই রেখা বৃত্তকে স্পর্শ করবে যখন এই কোয়েশানটি একমাত্র সমাধান থাকে:

\(D = 0\), যেখানে \(D\) হলো ডিসক্রিমিন্যান্ট:

\(D = b^2 - 4ac\)

ধাপ ৫: ডিসক্রিমিন্যান্টের মান নির্ণয়:

\(a = 2\), \(b = -2 - 2a\), \(c = 1\)

\(D = (-2 - 2a)^2 - 4 \times 2 \times 1\)

\(D = ( -2 - 2a)^2 - 8\)

\(D = (4 + 8a + 4a^2) - 8\)

\(D = 4a^2 + 8a + 4 - 8\)

\(D = 4a^2 + 8a - 4\)

ধাপ ৬: স্পর্শের শর্তে \(D = 0\):

\(4a^2 + 8a - 4 = 0\)

অথবা, বিভাজন দ্বারা সাধারণ রূপে লিখা:

\(a^2 + 2a - 1 = 0\)

উপসংহার:

অতএব, \(a\) এর মানের জন্য যে শর্তে রেখা \(x + y = 1\) বৃত্তকে স্পর্শ করবে, তা হলো:

\(a^2 + 2a = 1\)